Задача 8. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий \(\nu  = 2\) моля воздуха при давлении \({p_1} = 1,5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \,\nu \,T\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\) (Дж), где \(\alpha  = 5,75\) — постоянная, \(T = 300\) К — температура воздуха, \({p_1}\) (атм) — начальное давление, а \({p_2}\) (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления \({p_2}\) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Задача сводится к решению неравенства  \(A \leqslant 6\,900.\)

\(5,75 \cdot 2 \cdot 300 \cdot {\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 6\,900\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,11,5 \cdot {\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 21\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant {\log _2}4\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{p_2}}}{{1,5}} \leqslant 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{p_2} \leqslant 6.\)

Следовательно, наибольшее значение  p2 = 6 атмосфер.

Ответ: 6.