Пусть x км – расстояние от А до С, а y км/ч – скорость автомобиля. Рассмотрим сначала движение автомобиля и мотоцикла от А до С.
| \({\text{A}} \to {\text{C}}\) |
v (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
| Автомобиль |
\(y\) |
\(\frac{x}{y}\) |
x |
| Мотоцикл |
90 |
\(\frac{x}{{90}}\) |
x |
Так как автомобиль выехал на 30 мин раньше, то его время на \(\frac{1}{2}\) часа больше. Тогда первое уравнение будет иметь вид: \(\frac{x}{y} — \frac{x}{{90}} = \frac{1}{2}.\)
Теперь рассмотрим случай движения автомобиля из С в В, а мотоциклиста из С в А.
|
v (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
| Автомобиль |
y |
\(\frac{{150 — x}}{y}\) |
\(150 — x\) |
| Мотоцикл |
90 |
\(\frac{x}{{90}}\) |
x |
Так как мотоциклист вернулся в А одновременно с автомобилистом, приехавшим в В, то второе уравнение будет иметь вид: \(\frac{{150 — x}}{y} = \frac{x}{{90}}.\)
Таким образом, получаем систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{x}{y} — \frac{x}{{90}} = \frac{1}{2};} \\ {\frac{{150 — x}}{y} = \frac{x}{{90}}.} \end{array}} \right.\)
Из второго уравнения: \(y = \frac{{90\left( {150 — x} \right)}}{x}\) подставляя в первое уравнение, получим:
\(\frac{{{x^2}}}{{90\left( {150 — x} \right)}} — \frac{x}{{90}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{x^2} — x\left( {150 — x} \right)}}{{90\left( {150 — x} \right)}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{2{x^2} — 150x}}{{90\left( {150 — x} \right)}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,4{x^2} — 300x = 90 \cdot 150 — 90x\,\,\left| {\,:\,2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,2{x^2} — 105x — 6750 = 0} \right.;\)
\(D = {105^2} + 4 \cdot 2 \cdot 6750 = {15^2} \cdot {7^2} + 4 \cdot 2 \cdot {15^2} \cdot 30 = {15^2}\left( {49 + 240} \right) = {15^2} \cdot 289;\,\,\,\)
\(\sqrt D = 15 \cdot 17 = 255;\,\,\,\,\,{x_1} = \frac{{105 + 255}}{4} = 90;\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{105 — 255}}{4} = — 37,5.\)
Так как \(x > 0\), то расстояние от А до С равно 90 км.
Ответ: 90.