Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Ответ

ОТВЕТ: 22.

Решение

Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии:  \({S_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n.\)  По условию задачи: \({a_1} = 10,\)  а  \({S_{16}} = 640.\)  Тогда:  \(640 = \frac{{10 + {a_{16}}}}{2} \cdot 16\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,10 + {a_{16}} = 80\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a_{16}} = 70.\)  Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:  \({a_n} = {a_1} + d\left( {n — 1} \right),\) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда:  \({a_{16}} = {a_1} + 15d\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,70 = 10 + 15d\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,d = 4\)   и   \({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 \cdot 4 = 22.\) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки.

Ответ: 22.