Геометрия 10-11 класс. Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
- Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
- Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
- Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Факты, непосредственно связанные с аксиомами
- Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
- Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Задача 1. Какие две прямые не могут лежать в одной плоскости?
1) пересекающиеся 2) параллельные 3) скрещивающиеся 4) все указанные могут лежать в одной плоскости |
|
Задача 2. Плоскость можно задать:
1) одной прямой 2) двумя различными точками 3) тремя точками, не лежащими на одной прямой 4) четырьмя произвольными точками |
|
Задача 3. Плоскость AOD пересекает плоскость BDC по прямой:
1) DO 2) DM 3) AM 4) DC |
|
Задача 4. Одна плоскость задана прямыми AS и CS, другая – прямыми BD и SD. Эти плоскости пересекаются по прямой:
1) AC 2) SD 3) AS 4) SO |
|
Задача 5. В какой из точек прямая MN пересекает плоскость ABC?
1) N 2) K 3) P 4) D |
|
Задача 6. Для нахождения точки пересечения прямой MK с плоскостью ABC нужно продлить MK до пересечения с прямой:
1) DC 2) AB 3) BC 4) AC |
|
Задача 7. Прямая MN лежит в плоскости ABD. Какую прямую пересекает прямая MN?
1) DC 2) AB 3) BC 4) AC |
|
Задача 8. Прямая а лежит в плоскости A1B1C1D1. Какую прямую пересекает прямая a?
1) CC1 2) DD1 3) AD 4) D1C1 |
|
Задача 9. Дана призма. В какой точке прямая B1C1 пересекает плоскость AA1M?
1) B1 2) C1 3) K 4) не пересекает |
|
Задача 10. Дан параллелепипед. В какой точке прямая A1B1 пересекает плоскость OC1C?
1) B1 2) A1 3) в некоторой точке M 4) не пересекает |
Задача 11. Дана четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую пересечения плоскостей AA1C1 и BB1D1. |
Задача 12. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую пересечения плоскостей BB1D1 и ABC1. |
Задача 13. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, M — точка пересечения медиан основания ABC. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и A1MC1. |
Задача 14. Четырёхугольник ABCD — основание пирамиды SABCD. Постройте прямую пересечения плоскостей ASB и CSD, если прямые AB и CD пересекаются. |
Задача 15. Четырёхугольник ABCD — основание пирамиды SABCD. Постройте прямую пересечения плоскостей ASB и CSD, если прямые AB и CD параллельны. |
Задача 16. Основание пирамиды SABCD — трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M лежит на ребре SB. Постройте прямую пересечения плоскостей ADM и SBC. |
Задача 17. Дана треугольная пирамида ABCD, M — точка пересечения медиан грани ABC. Постройте прямую пересечения плоскости ADC с плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD. |
Задача 18. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, M — точка, лежащая на ребре CC1. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BMA1. |
Задача 19. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K, L и M лежат на рёбрах AD, CD и BB1 соответственно. Постройте прямую пересечения плоскостей KLM и BB1D1D. |
Задача 20. Основание пирамиды SABCDEF — шестиугольник ABCDEF, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны. Постройте прямую пересечения плоскостей ASD и CSF. |
Задача 21. Дана шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, основания которой — правильные шестиугольники. Точка O — центр основания ABCDEF, M — середина бокового ребра DD1. Постройте прямую пересечения плоскости A1B1C1 с плоскостью, проходящей через точки O и M параллельно прямой AE. |
Задача 22. Дана треугольная пирамида ABCD. Точка M лежит на ребре BC, причём BM : MC = 1 : 2. Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку M и середину ребра CD, с плоскостью ABD. |
Задача 23. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре AA1. Постройте точку пересечения прямой DM с плоскостью A1B1C1. |
Задача 24. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, M — точка пересечения медиан грани ABC, точка N лежит на боковом ребре CC1. Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью A1B1C1. |
Задача 25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой —параллелограмм ABCD. Точка M лежит на боковом ребре SC. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ASD. |
Задача 26. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре AA1. Постройте точку пересечения прямой CM с плоскостью A1B1C1. |
Задача 27. Дана треугольная пирамида ABCD, M — точка пересечения медиан грани ABC. Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку B и середину отрезка DM, с плоскостью ACD. |
Задача 28. Дана треугольная пирамида ABCD. Точки K, L и M лежат на рёбрах AB, BC и CD соответственно. Постройте точку пересечения прямой KM с плоскостью ALD. |
Задача 29. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M лежит на боковом ребре SD. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ASC. |
Задача 30. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре DD1. Постройте точку пересечения прямой DB1 с плоскостью AMC. |
Задача 31. Основание пирамиды SABCDEF — шестиугольник ABCDEF, противоположные стороны BC и EF которого параллельны. Точка M лежит на ребре SC. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ESF. |