Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

  • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  • Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Факты, непосредственно связанные с аксиомами

  • Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
  • Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Задача 1. Какие две прямые не могут лежать в одной плоскости?

1) пересекающиеся        

2) параллельные    

3) скрещивающиеся       

4) все указанные могут лежать в одной плоскости

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 2. Плоскость можно задать:

1) одной прямой        

2) двумя различными точками

3) тремя точками, не лежащими на одной прямой

4) четырьмя произвольными точками

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 3. Плоскость AOD пересекает плоскость BDC по прямой:

1) DO       2) DM     3) AM       4) DC

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 4. Одна плоскость задана прямыми AS и CS, другая – прямыми BD и SD. Эти плоскости пересекаются по прямой:

1) AC       2) SD     3) AS       4) SO

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 5. В какой из точек прямая MN пересекает плоскость ABC?

1) N        2) K       3) P       4) D

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 6. Для нахождения точки пересечения прямой MK с плоскостью ABC нужно продлить MK до пересечения с прямой:

1) DC        2) AB       3) BC       4) AC

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 7. Прямая MN лежит в плоскости ABD. Какую прямую пересекает прямая MN?

1) DC        2) AB       3) BC       4) AC

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 8. Прямая а лежит в плоскости A1B1C1D1. Какую прямую пересекает прямая a?

1) CC1        2) DD1       3) AD       4) D1C1

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 9. Дана призма. В какой точке прямая B1C1 пересекает плоскость AA1M?

1) B1       2) C1      3) K      4) не пересекает

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Задача 10. Дан параллелепипед. В какой точке прямая A1B1 пересекает плоскость OC1C?

1) B1       2) A1      3) в некоторой точке M   4) не пересекает

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 11. Дана четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую пересечения плоскостей AA1C1 и BB1D1.
Задача 12. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую пересечения плоскостей BB1D1 и ABC1.
Задача 13. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, M — точка пересечения медиан основания ABC. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и A1MC1.
Задача 14. Четырёхугольник ABCD — основание пирамиды SABCD. Постройте прямую пересечения плоскостей ASB и CSD, если прямые AB и CD пересекаются.
Задача 15. Четырёхугольник ABCD — основание пирамиды SABCD. Постройте прямую пересечения плоскостей ASB и CSD, если прямые AB и CD параллельны.
Задача 16. Основание пирамиды SABCD — трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M лежит на ребре SB. Постройте прямую пересечения плоскостей ADM и SBC.
Задача 17. Дана треугольная пирамида ABCD, M — точка пересечения медиан грани ABC. Постройте прямую пересечения плоскости ADC с плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD.
Задача 18. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, M — точка, лежащая на ребре CC1. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BMA1.
Задача 19. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K, L и M лежат на рёбрах AD, CD и BB1 соответственно. Постройте прямую пересечения плоскостей KLM и BB1D1D.
Задача 20. Основание пирамиды SABCDEF — шестиугольник ABCDEF, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны. Постройте прямую пересечения плоскостей ASD и CSF.
Задача 21. Дана шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, основания которой — правильные шестиугольники. Точка — центр основания ABCDEF, — середина бокового ребра DD1. Постройте прямую пересечения плоскости A1B1C1 с плоскостью, проходящей через точки O и M параллельно прямой AE.
Задача 22. Дана треугольная пирамида ABCD. Точка M лежит на ребре BC, причём BM MC = 1 : 2. Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку M и середину ребра CD, с плоскостью ABD.
Задача 23. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре AA1. Постройте точку пересечения прямой DM с плоскостью A1B1C1.
Задача 24. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, — точка пересечения медиан грани ABC, точка N лежит на боковом ребре CC1. Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью A1B1C1.
Задача 25. Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой —параллелограмм ABCD. Точка M лежит на боковом ребре SC. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ASD.
Задача 26. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре AA1. Постройте точку пересечения прямой CM с плоскостью A1B1C1.
Задача 27. Дана треугольная пирамида ABCD, — точка пересечения медиан грани ABC. Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку B и середину отрезка DM, с плоскостью ACD.
Задача 28. Дана треугольная пирамида ABCD. Точки K, L и M лежат на рёбрах AB, BC и CD соответственно. Постройте точку пересечения прямой KM с плоскостью ALD.
Задача 29. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M лежит на боковом ребре SD. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ASC.
Задача 30. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M лежит на ребре DD1. Постройте точку пересечения прямой DB1 с плоскостью AMC.
Задача 31. Основание пирамиды SABCDEF — шестиугольник ABCDEF, противоположные стороны BC и EF которого параллельны. Точка M лежит на ребре SC. Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ESF.