Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Угол между прямыми

Угол между двумя прямыми. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. Очевидно, \({0^ \circ } < \alpha  \leqslant {90^ \circ }\). Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Для нахождения этого угла, как правило, используют теорему косинусов. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен \({90^ \circ }\). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Нахождение угла между прямыми координатным методом.

1) Находим координаты двух точек на каждой из прямых.

2) Находим координаты векторов (для этого из координат конца вычитаем соответствующие координаты начала).

3) Используя скалярное произведение векторов, находим косинус угла между эти векторами, который и будет являться косинусом угла между прямыми, \(\cos \left( {\overrightarrow a {,^ \wedge }{\kern 1pt} \overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow b }}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right|{\kern 1pt} \left| {{\kern 1pt} \overrightarrow b {\kern 1pt} } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \,\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\),  где x1, y1, z1 координаты вектора \(\vec a\), а  x2, y2, z2 координаты вектора \(\vec b\).

4) Если косинус получился равен отрицательному значению, то берем это значение по модулю.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВВ1 и СD.

 

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВВ1 и ВD

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и СD1

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1.   

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми СА1 и ВС1.   

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите угол между прямыми и BD1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Задача 7. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите угол между прямыми АЕ и ВС1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Задача 8. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – середины ребер DD1. Найдите угол между прямыми  СК и АС1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Задача 9. В кубе ABCDA1B1C1D1 к диагонали A1C провели перпендикуляры из вершин A и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 10. В кубе ABCDA1B1C1D1 к диагонали AC1 провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 11. Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите угол между прямыми AB и CD.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 12. Дан правильный тетраэдр ABCD. Точка M — середина ребра AB. Найдите угол между прямыми DM и BC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Задача 13. Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки M и N — середины рёбер AB и AC соответственно. Найдите угол между прямыми DM и BN.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{1}{6}\).

Задача 14. Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки K и N — середины рёбер BD и AC соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BN.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{2}{3}\).

Задача 15. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны. Найдите угол между прямыми AS и BD.  

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 16. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны. Найдите угол между прямыми AS и CD.   

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 17. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, M — середина бокового ребра SD. Найдите угол между прямыми SA и CM.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Задача 18. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, M — середина бокового ребра SD. Найдите угол между прямыми SB и CM.

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\sqrt 2 \).

Задача 19. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка M – середина ребра SB. Найдите угол между прямыми CM и SO, где точка O – центр основания пирамиды.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Задача 20. Ребра АD и ВС пирамиды DABC равны 6 и 8. Расстояние между серединами ребер BD и AC равно 5. Найдите угол между прямыми АD и ВС.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 21. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (с вершиной S), все рёбра которой равны 1, точки E, F – середины ребер соответственно SB и SC. Найдите угол между прямыми АЕ и BF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{1}{6}\).

Задача 22. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABC. Найдите угол между прямыми  AC и B1C1

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 23. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABC. Найдите угол между прямыми AA1 и BC1.

Ответ

ОТВЕТ: \({45^\circ }\).

Задача 24. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABC. Точка M — середина ребра BC. Найдите угол между прямыми AM и BC1.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 25. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABC. Найдите угол между прямыми BC1 и CA1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{1}{4}\).

Задача 26. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABCDEF. Найдите угол между прямыми EA1 и AB.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 27. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABCDEF. Найдите угол между прямыми BE1 и AF.

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\frac{1}{2}\).

Задача 28. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABCDEF. Найдите угол между прямыми BD1 и CD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{3}{4}\).

Задача 29. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Боковое ребро AA1 равно стороне основания ABCDEF. Найдите угол между прямыми BE1 и AB1.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 30. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми  SB и AF.

Ответ

ОТВЕТ: \({60^\circ }\).

Задача 31. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми SC и AE.

Ответ

ОТВЕТ: \({90^\circ }\).

Задача 32. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми SB и AE.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Задача 33. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми SB и AD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{1}{4}\).

Задача 34. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S), стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, точка K – середина ребра SD. Найдите угол между прямыми AS и FK.

Ответ

ОТВЕТ: \(\arccos \frac{{\sqrt {10} }}{4}\).