Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Параллельность плоскостей

  • Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.
  • Если плоскость α параллельна плоскости β, а плоскость β параллельна плоскости γ, то плоскость α параллельна плоскости γ.
  • Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Плоскости α и β параллельны, прямые AB и CD также параллельны. Площадь треугольника BOD равна 5. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 20.
Задача 2. Плоскости α и β параллельны, прямые AB и CD также параллельны, AB = 12, BD = 5, AD = 13. Найдите периметр  BOD.

Ответ

ОТВЕТ: 18.
Задача 3. Плоскости α и β параллельны, прямые AD и BC также параллельны, AD = 8, CD = 6, \(BD = 2\sqrt {34} .\)  Найдите длину отрезка  AC.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 4. Плоскости α и β параллельны, прямые AB и CD также параллельны, AB = 6,  \(AO = 2\sqrt 2 ,\,\,\,CO = 3\sqrt 2 .\) Найдите длину отрезка  BD.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 5. Дана правильная треугольная пирамида  DABC,  MC = 5,  BM = 11. Плоскость α  проходит через точку M параллельно плоскости ADB и пересекает ребро AC в точке K. Найдите длину отрезка MK.

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 6. Дан правильный тетраэдр DABC, KC = 12,  KD = 4. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ADB и пересекает ребро BC в точке M. Найдите длину отрезка MK.

Ответ

ОТВЕТ: 12.
Задача 7. Дан куб ABCDA1B1C1D1 площадь поверхности, которого 48. Плоскость α проходит через точку M параллельно плоскости AB1C. Найдите периметр сечения куба плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 8. Дана правильная четырехугольная призма  ABCDA1B1C1D1,  \(AB = 3\sqrt 2 ,\) AD1 = 12. Найдите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точку K параллельно плоскости AB1D1.

Ответ

ОТВЕТ:15 .
Задача 9. Дана правильная треугольная пирамида  DABC. Точки K, M, P, E – середины рёбер. Найдите угол между прямыми KM и PE.

Ответ

ОТВЕТ: 64.
Задача 10. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точки K, M, P – середины рёбер. Найдите угол между прямыми KM и OP.

Ответ

ОТВЕТ: 88.
Задача 11. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,  AA1 = 12, AD = 8, DC = 11, A1M = 6. Найдите периметр сечения параллелепипеда плоскостью MBD1.

Ответ

ОТВЕТ: 46.
Задача 12. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,  CC1 = 30, AD = 24, A1B1 = 23, C1N = 16. Найдите периметр сечения параллелепипеда плоскостью CNA1.

Ответ

ОТВЕТ: 118.
Задача 13. Дана правильная треугольная пирамида  DABC, BC = 48, AK : KD = 3 : 1. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ABC. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 36.
Задача 14. Дана треугольная пирамида  DABC, площадь треугольника ABC равна 64, DM : MC = 3 : 5. Плоскость α проходит через точку M параллельно плоскости ABC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 15. Дана треугольная пирамида DABC, AB = 12, BC = 16, AC = 20, DM = MC. Плоскость α проходит через точку M параллельно плоскости ABC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 24.
Задача 16. Дана треугольная пирамида DABC, \(AD = \sqrt {63} ,\) BD = 12, CD = 13, DK : KC = 2 : 1. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ABC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 17. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD все ребра которой равны 16, AK : KS = 1 : 3. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ABC. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 48.
Задача 18. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны. Точка M – середина ребра AS. Периметр сечения пирамиды плоскостью α, проходящей через точку M параллельно плоскости BSC равен 100.  Найдите длину ребра DC.

Ответ

ОТВЕТ: 40.
Задача 19. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, AA1 = 10, AC = 9, CK : CB = 1 : 3. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости AA1C1C. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.  

Ответ

ОТВЕТ: 60.
Задача 20. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, AA1 = 13, AC = 20, A1E : EB1 = 3 : 2. Плоскость α проходит через точку E параллельно плоскости AA1C1C. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.  

Ответ

ОТВЕТ: 104.
Задача 21. Дана прямая четырехугольная призма  ABCDA1B1C1D1, основание которой ABCD – равнобедренная трапеция. Найдите периметр сечения призмы плоскостью MBC.

Ответ

ОТВЕТ: 46.
Задача 22. Дана прямая четырехугольная призма  ABCDA1B1C1D1, основание которой ABCD – равнобедренная трапеция. Найдите периметр сечения призмы плоскостью ADK.

Ответ

ОТВЕТ: 56.
Задача 23. Четырехугольники ABCD и ABMK – трапеции, SCOM = 10, SMOK = 15. Найдите площадь треугольника DOK.

Ответ

ОТВЕТ: 22,5.
Задача 24. Четырехугольники ABMK и DCMK – трапеции, SCOB = 9, SAOD = 16. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 49.