Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Перпендикулярность прямой и плоскости

  • Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
  • Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
  • Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Прямая \(AB \bot \beta ,\,\,\,K \in \beta {\text{.}}\)  Известно, что KB = 5, AB = 12. Найдите длину отрезка AK.

Ответ

ОТВЕТ: 13.
Задача 2. Прямая \(AB \bot \alpha ,\,\,\,C \in \alpha {\text{.}}\)  Известно, что  \(AB = 7\sqrt 2 ,\)  \(\angle CAB = {45^\circ }.\)  Найдите длину отрезка AC.

Ответ

ОТВЕТ: 14.
Задача 3. Прямые AC и BD перпендикулярны плоскости α. Известно, что AC = 8, BD = 16, AB = 17. Найдите длину отрезка CD.

Ответ

ОТВЕТ: 15.
Задача 4. Дан параллелограмм ABCD, вершины которого A и D принадлежат плоскости β и  \(CD \bot \beta {\text{.}}\)  Периметры треугольников ACD и AOB равны соответственно 30 и 20. Найдите длину отрезка BC.
Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 5. Известно, что O – центр окружности, \(MO \bot \alpha {\text{,}}\) MK = 13, MO = 12, OE = 4. Найдите длину отрезка AB.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 6. Известно, что O – центр окружности, \(MO \bot \beta {\text{,}}\) AB = 8, EO = 6, \(MO = \sqrt {48} .\) Найдите длину отрезка MK.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 7. Дана четырехугольная пирамида MABCD, основание которой ABCD – прямоугольник. Боковое ребро MB равное 4 перпендикулярно ребрам AB и BC, равным соответственно 4 и 2. Найдите длину ребра MD.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 8. Дана треугольная пирамида MABC, основание которой равнобедренный треугольник ABC – с прямым углом C и гипотенузой равной 10. Боковое ребро MC равное 12 перпендикулярно ребрам AC и BC. Найдите длину отрезка MK.

Ответ

ОТВЕТ: 13.
Задача 9. Дана правильная треугольная призма  ABCA1B1C1 со стороной основания равной 8 и боковым ребром равным \(\sqrt {52} .\) Найдите длину отрезка A1K.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 10. Дан прямоугольник ABCD. Прямая MB перпендикулярна прямым AB и BC. Найдите длину диагонали AC, если \(AM = 5\sqrt 2 \) и AD = 12.

Ответ

ОТВЕТ: 13.
Задача 11. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,  AA1 = 4, AD = 4, DC = 2. Найдите диагональ CA1.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 12. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,  AA1 = 5, B1D = 8, \(DC = \sqrt {23} .\)  Найдите ребро AD.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 13. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, периметр основания которого равен 16, площадь основания 12, а боковое ребро 3.  Найдите диагональ параллелепипеда.

Ответ

ОТВЕТ: 7.
Задача 14. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, \(MK\parallel A{A_1},\) AA1 = 6, \(AB = 3\sqrt 3 .\) Найдите длину отрезка MC.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.
Задача 15. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1,  AA1 = 6, AD = 4, \(DC = 4\sqrt 5 ,\) CK : KC1 = 1 : 2, A1E = EB1, EM = MC1.  Найдите длину отрезка MK.

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 16. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной \(4\sqrt 3 .\) Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Найдите длину отрезка DC, если DO = 3.

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 17. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной \(12\sqrt 3 .\) Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Найдите длину отрезка DK, если DO = 8.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 18. Дан равносторонний треугольник ABC. Прямая PK перпендикулярна плоскости ABC, \(MP = \sqrt {139} \), PK = 8. Найдите длину отрезка AP.

Ответ

ОТВЕТ: 17.
Задача 19. Прямая AC перпендикулярна плоскости α, \(CK \bot AB,\)  AK = 9,  KB = 16.  Найдите длину отрезка CK.

Ответ

ОТВЕТ: 12.
Задача 20. Прямая AB перпендикулярна плоскости β, \(BK \bot AC,\)  CK = 16,  KB = 20.  Найдите длину отрезка AC.

Ответ

ОТВЕТ: 41.
Задача 21. Прямая AC перпендикулярна плоскости α, \(CK \bot AB,\)  BK = 10.  Найдите длину отрезка AK.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 22. Прямая AC перпендикулярна плоскости β, \(CM \bot AB,\)  AM = 6.  Найдите длину отрезка AB.

Ответ

ОТВЕТ: 24.
Задача 23. Площадь круга с центром в точке O равна \(36\pi {\text{.}}\) Прямая AO перпендикулярна плоскости α, \(\angle \,MAK = {60^ \circ },\) AO = 8. Найдите периметр треугольника AMK.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 24. Площадь круга с центром в точке O равна \(16\pi {\text{.}}\) Прямая AO перпендикулярна плоскости β, AO = 3. Найдите периметр треугольника MBO.

Ответ

ОТВЕТ: 9,6.
Задача 25. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD все рёбра которой равны 6. Плоскость α проходит через точки B и D перпендикулярно ребру SC. Найдите квадрат площади сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 162.
Задача 26. Дан правильный тетраэдр DABC все рёбра которой равны 6, AK : KB = 2 : 1. Плоскость α проходит через точку K перпендикулярно ребру AD. Найдите квадрат площади сечения пирамиды плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 32.