Геометрия 10-11 класс. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из приведенных ниже четырех способов.

Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину.
Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстояние от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.
Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.
Построить плоскость α, перпендикулярную одной из данных прямых AB, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию C₁D второй прямой CD. Тогда искомое расстояние это расстояние от точки A до прямой C₁D, т.е. длина отрезка AH.
Воспользоваться формулой для объема тетраэдра: \(V = \frac{1}{6}abh\sin \alpha ,\) где V – объем тетраэдра, а и b – длины его противолежащих ребер, h – расстояние между прямыми, содержащими эти ребра, α – угол между этими прямыми.

Задача 1. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите расстояние между прямыми BC и АА₁.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 2. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите расстояние между прямыми В₁В и АС₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Задача 3. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите расстояние между прямыми AВ₁ и BС₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Задача 4. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Найдите расстояние между прямыми BD и AC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Задача 5. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Точки K и M — середины рёбер BD и AB соответственно. Найдите расстояние между прямыми KM и AC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Задача 6. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Точки K и N — середины рёбер BD и AC соответственно. Найдите расстояние между прямыми AB и KN.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Задача 7. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Точка M — середина ребра AB. Найдите расстояние между прямыми DM и BC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).

Задача 8. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны 1. Найдите расстояние между прямыми SB и AC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}\).

Задача 9. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны 1. Найдите расстояние между прямыми SA и BC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Задача 10. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны 1. Найдите расстояние между прямыми AD и SC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Задача 11. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны 1, К — середина бокового ребра SD. Найдите расстояние между прямыми SB и CК.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}\).

Задача 12. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми CC₁ и AB.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Задача 13. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB и CB₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Задача 14. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB₁ и BC₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Задача 15. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1. Точка К — середина AC. Найдите расстояние между прямыми BК и AC₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Задача 16. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AE₁ и DB₁.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 17. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми BB₁ и EF₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 3 \).

Задача 18. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA₁ и CF₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Задача 19. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AB₁ и CD₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

Задача 20. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми BE и DB₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Задача 21. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми SB и AF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Задача 22. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми SB и AE.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).

Задача 23 Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми SB и DF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Задача 24. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми SB и AD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {15} }}{5}\).