Геометрия 10-11 класс. Призма
Призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы. Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани – боковыми гранями призмы. В зависимости от основания призмы бывают: треугольными, четырехугольными и т.д. Призма с боковыми ребрами, перпендикулярными ее основаниям, называется прямой призмой. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
Объем призмы находится по формуле: \(V = S \cdot H\), где S – площадь основания; H – длина высоты призмы.
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипед имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и каждая делится этой точкой пополам. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и \({d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\), где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a\,b\,c\).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом \(d = a\sqrt 3 \), \(V = {a^3}\), \({S_{пов}} = 6\,{a^2}\), где d – диагональ куба, a – его ребро.
| Задача 1. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна 36, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь боковой грани.
|
| Задача 2. В основании прямой треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 6, 7 и 8. Высота призмы равна 10. Найдите площадь боковой поверхности.
|
| Задача 3. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины равны 5, 6 и 7. Найдите площадь большей грани.
|
| Задача 4. Площадь боковой поверхности правильной семиугольной призмы равна 280. Высота призмы равна 5. Найдите сторону основания.
|
| Задача 5. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 4 и 12.
|
| Задача 6. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 13, диагональ ее боковой грани – 12. Найдите площадь основания призмы.
|
| Задача 7. Площадь основания правильной четырехугольной призмы 18, высота призмы равна 5. Найдите площадь диагонального сечения призмы.
|
| Задача 8. Высота правильной треугольной призмы 12, периметр основания 15. Найдите диагональ боковой грани призмы.
|
| Задача 9. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 16 и наклонена под углом \({45^\circ }\) к плоскости основания. Найдите площадь основания.
|
| Задача 10. Периметр одной грани куба равен 24. Найдите площадь поверхности куба.
|
| Задача 11. Найдите диагональ куба, площадь поверхности которого равна 32.
|
| Задача 12. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины равны 5, 6 и 8. Найдите площадь полной поверхности.
|
| Задача 13. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Грань ACC1A1 квадрат, AC = 3, CB = 4, AB = 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.
|
| Задача 14. Дан прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1, CC1 = 24, AD = 5, DC = 8, \(\angle \,ADC = {60^\circ }.\) Найдите меньшую диагональ параллелепипеда.
|
| Задача 15. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, периметр боковой грани равен 26, а площадь основания 25. Найдите площадь полной поверхности призмы.
|
| Задача 16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 10, найдите тангенс угла BE1E.
|
| Задача 17. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 9, найдите расстояние между точками F и D1.
|
| Задача 18. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны, площадь основания равна \(6\sqrt 3 .\) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
|
| Задача 19. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите \(\angle \,D{B_1}{A_1},\) если известно, что CD = 13, AD = 5, BB1 = 12. Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 20. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол, котангенс которого равен 2. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
|
| Задача 21. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна \(4\sqrt 3 .\) Радиус окружности, описанной вокруг грани CBB1C1 равен 2,5. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
|
| Задача 22. Две боковые грани прямой треугольной призмы перпендикулярны, их площади равны 40 и 30, боковое ребро призмы равно 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.
|
| Задача 23. Расстояние от вершины B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 до плоскости ACC1A1 равно 15, а до плоскости ABC – 8. Найдите расстояние от вершины B1 до прямой AC.
|
| Задача 24. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Найдите высоту призмы, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания наклонена к плоскости основания под углом \({60^\circ }.\)
|
| Задача 25. Дан прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1, основанием которого является ромб ABCD, AC = 24, DB = 10, \(\angle \,CB{C_1} = {45^\circ }.\) Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
|
| Задача 26. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, A1С1 = 15, DС1 = 13, \({A_1}D = \sqrt {106} .\) Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
|
| Задача 27. Дан наклонный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, все ребра пирамиды B1ABCD равны между собой. Найдите \(\angle \,{D_1}DC.\)
|
| Задача 28. Дан наклонный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, точка B1 равноудалена от вершин квадрата ABCD, AD = 6, AA1 = 5. Найдите площадь грани DD1C1C.
|