Геометрия 10-11 класс. Пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:\({S_{{\text{бок}}{\text{.пов}}}} = \frac{1}{2}p\,l\), где p – периметр основания; l – длина апофемы.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}S\,H\), где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.
Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. Стороны основания треугольной пирамиды равны 5, 8 и 9. Высоты боковых граней, проведенных к ребрам основания равны 10. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
|
| Задача 2. Дана правильная семиугольная пирамида, ребро основания равно 8, апофема – 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
|
| Задача 3. Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды – 32, апофема – 7. Найдите площадь одной боковой грани.
|
| Задача 4. Дана треугольная пирамида DABC. Боковые ребра DA = DB = DC = 5, AB = AC = 8, BC = 6. Найдите площадь боковой поверхности.
|
| Задача 5. Дана правильная четырехугольная пирамида, её высота равна 3, площадь боковой поверхности 80. Найдите площадь полной поверхности.
|
| Задача 6. Высоты боковых граней четырехугольной пирамиды, проведенные из вершины равны 7, две противоположные стороны основания равны 8 и 14. Найдите площадь боковой поверхности.
|
| Задача 7. Дана правильная четырехугольная пирамида с боковыми ребрами равными 10 и высотой – \(2\sqrt 7 .\) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
|
| Задача 8. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой равнобедренная трапеция в которую можно вписать окружность с основаниями AB = 9 и CD = 4. Боковая грань ASD образует с плоскостью основания угол \({60^\circ }.\) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
|
| Задача 9. Дана треугольная пирамида SABC с высотой SA, равной 9. Стороны основания AB = AC = 13, BC = 10. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
|
| Задача 10. Дана четырехугольная пирамида SABCD в основании, которой ромб ABCD с диагоналями AC = 16, BD = 12 которые пересекаются в точке O. Отрезок SO равный 2 является высотой пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности.
|
| Задача 11. Дана четырехугольная пирамида SABCD в основании, которой ромб ABCD площадь которого равна 60 и стороной 10. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Отрезок SO равный 4 является высотой пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности.
|
| Задача 12. Дана правильная треугольная пирамида с боковыми ребрами равными 13, медиана основания – 7,5. Найдите высоту пирамиды.
|
| Задача 13. Дана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна \(4\sqrt 3 ,\) высота – 3. Найдите боковое ребро пирамиды.
|
| Задача 14. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 13, сторона основания – \(5\sqrt 2 .\) Найдите высоту пирамиды.
|
| Задача 15. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом \({45^\circ }.\) Периметр основания равен 100. Найдите высоту пирамиды.
|
| Задача 16. Дана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены к плоскости основания под углом \({45^\circ }.\) Высота пирамиды равна 13. Найдите радиус окружности, описанной около основания.
|
| Задача 17. Дана правильная четырехугольная пирамида, площадь основания которой 256. Высота пирамиды – 15. Найдите апофему пирамиды.
|
| Задача 18. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой параллелограмм ABCD с периметром равным 38. Все двугранные углы при основании равны между собой. Найдите DC.
|
| Задача 19. Сечение параллельное основанию треугольной пирамиды, делит боковое ребро в отношении 3 : 2, считая от вершины. Площадь сечения – 18. Найдите площадь основания.
|
| Задача 20. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \({45^\circ }.\) Высота пирамиды равна 5, а периметр основания – 14. Найдите площадь основания.
|
| Задача 21. Все боковые ребра треугольной пирамиды равны 29, одна из сторон основания равна 20, а противолежащий ей угол \({30^\circ }.\) Найдите высоту пирамиды.
|
| Задача 22. Все боковые ребра треугольной пирамиды SABC образуют с основанием углы \({30^\circ }.\) Известно, что \(AB = 5\sqrt 3 ,\,\,\,\angle \,ACB = {150^\circ }.\) Найдите высоту пирамиды.
|