Геометрия 10-11 класс. Конус
Прямым круговым конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Другой катет треугольника, вращаясь вокруг этой же оси, дает круг, который называется основанием. При вращении вокруг этой оси гипотенузы получается фигура, называемая боковой поверхностью конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: \({S_{{\text{б}}{\text{.п}}{\text{.}}}} = \pi \,R\,L\,\); площадь полной поверхности конуса находится по формуле: \(S = \pi \,R\,L\, + \pi \,{R^2}\); объем конуса находится по формуле: \(V = \frac{1}{3}\pi \,{R^2}\,H\), где R – радиус основания; L – длина образующей; H – длина высоты конуса.
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник с периметром 30. Найдите длину образующей конуса.
|
| Задача 2. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45°. Высота конуса равна 5. Найдите площадь основания конуса, деленную на π.
|
| Задача 3. Прямоугольный треугольник с гипотенузой \(7\sqrt 2 \) и острым углом 45° вращается вокруг катета. Найдите площадь осевого сечения полученного тела вращения.
|
| Задача 4. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5 вращают вокруг большего катета. Найдите периметр осевого сечения полученного тела вращения.
|
| Задача 5. Диаметр основания конуса равен 12, а высота равна 8. Найдите образующую конуса.
|
| Задача 6. Образующая конуса равна 17, а диаметр основания – 16. Найдите высоту конуса.
|
| Задача 7. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна 8, а площадь основания \(\frac{{25}}{\pi }\).
|
| Задача 8. Площадь боковой поверхности конуса 10, а длина образующей – \(\frac{1}{{\sqrt \pi }}\). Найдите площадь основания конуса.
|
| Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса 65π, а длина образующей – 13. Найдите котангенс угла между образующей конуса и его высотой.
|
| Задача 10. Высота конуса равна 8, а радиус его основания 10. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно 4,8.
|
| Задача 11. Через вершину конуса под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая четверть окружности основания. Высота конуса равна \(2\sqrt 2 .\) Найдите площадь сечения деленную на \(\sqrt 2 .\)
|
| Задача 12. Параллельно основанию конуса проведена плоскость, которая делит высоту на отрезки которые относятся 1 : 3, считая от вершины. Площадь основания конуса равна 160. Найдите площадь сечения.
|
| Задача 13. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с площадью 25. Найдите площадь сечения конуса, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30°.
|
| Задача 14. Высота конуса равна 3, а радиус основания равен 6. Сечение конуса проходит через две образующих конуса и отсекает от окружности основания дугу в 60°. Найдите площадь этого сечения.
|
| Задача 15. Угол между высотой и образующей равен 30°. Найдите центральный угол в развертке боковой поверхности конуса.
|
| Задача 16. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Найдите синус угла между высотой и образующей конуса, умноженный на 6.
|
| Задача 17. Радиус основания конуса с вершиной P равен \(4\sqrt 3 \), а длина его образующей равна 10. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 2. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
|
| Задача 18. Радиус основания конуса равен 16, а его высота равна 30. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 28. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
|