Геометрия 10-11 класс. Шар

Скачать файл в формате pdf.

Геометрия 10-11 класс. Шар

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии от данной точки, не большем данного положительного числа. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Шаровой поверхностью или сферой шара называется множество всех точек пространства, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки. Эта точка называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.

Площадь поверхности шара находится по формуле:  \(S = 4\,\pi \,{R^2}\);  объем шара находится по формуле:   \(V = \frac{4}{3}\pi \,{R^3}\),  где R – радиус шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровой сегмент можно получить, вращая круговой сегмент вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде.

Площадь сегментной поверхности находится по формуле:  \(S = 2\,\pi \,R\,H\);  объем шарового сегмента находится по формуле:  \(V = \pi \,{H^2}\,\left( {\,R — \frac{H}{3}\,} \right)\),   где H – высота сегмента; R – радиус шара.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то он дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Объем шарового сектора находится по формуле:  \(V = \frac{2}{3}\pi \,{R^2}H\);  площадь полной поверхности шарового сектора складывается из площади сегментной поверхности и площади боковой поверхности конуса и находится по формуле:\({S_{{\text{шар}}{\text{.}}\;{\text{сект}}}} = {S_{{\text{шар}}{\text{.}}\;{\text{сегм}}}} + {S_{{\text{б}}{\text{.}}\;{\text{п}}{\text{.}}\;{\text{кон}}}} = 2\,\pi \,R\,H + \pi \,R\,\sqrt {\,2\,R\,H — {H^2}} \), где H – высота соответствующего шарового сегмента; R – радиус шара.

Задачи для самостоятельного решения