Геометрия 10-11 класс. Объём куба и параллелепипеда
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипед имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и каждая делится этой точкой пополам.
Объем параллелепипеда находится по формуле: \(V = S \cdot H\), где S – площадь основания; H – длина высоты параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и \({d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\), где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a\,b\,c\).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом \(d = a\sqrt 3 \), \(V = {a^3}\), \({S_{\text{пов}}} = 6\,{a^2}\), где d – диагональ куба, a – его ребро.
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. Площадь одной грани куба равна 9. Найдите объём куба.
|
|
| Задача 2. Площадь поверхности куба равна 13,5. Найдите объём куба.
|
|
| Задача 3. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4, 6 и 7.
|
|
| Задача 4. Найдите диагональ куба, объём которого равен \(24\sqrt 3 .\)
|
|
| Задача 5. Найдите объём куба, диагональ которого равна \(3\sqrt 3 .\)
|
|
| Задача 6. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 13, а стороны основания которого 4 и 3.
|
|
| Задача 7. В кубе сделали вырез в форме куба (см. рис.), ребро которого в 3 раза меньше ребра данного куба. Объём полученной фигуры равен 26. Найдите площадь поверхности этой фигуры.
|
 |
| Задача 8. Из четырех кубиков сложили фигуру (см. рис.), площадь поверхности полученной фигуры равна 72. Найдите объём этой фигуры.
|
 |
| Задача 9. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8, диагональ большей боковой грани равна 10. Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 10. Точка M – центр грани куба DCC1D1, \({B_1}M = \sqrt 6 .\) Найдите объём куба.
|
|
| Задача 11. Объём куба равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 6 и 12. Найдите площадь поверхности куба.
|
|
| Задача 12. В основании прямоугольного параллелепипеда с объёмом 200 лежит квадрат с периметром 20. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
|
|
| Задача 13. Найдите объём прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого CC1 = 5, AD = 6, DC = 7, \(\angle \,DAB = {150^\circ }.\)
|
|
| Задача 14. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 60, площадь боковой поверхности 70, площадь полной поверхности 94. Найдите высоту параллелепипеда.
|
|
| Задача 15. Высота прямого параллелепипеда равна 8, основание – ромб. Диагонали параллелепипеда 10 и 17. Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 16. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм с углом \({30^ \circ }\) и площадью 5. Площади двух боковых граней равны 10 и 25. Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 17. В основании наклонного параллелепипеда с высотой равной 7, лежит квадрат со стороной 3. Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 18. Площадь основания наклонного параллелепипеда равна 16, боковое ребро равно \(\sqrt {32} \) и наклонено к плоскости основания под углом \({45^ \circ }.\) Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 19. Основание ABCD наклонного параллелепипеда – прямоугольник со сторонами AD = 7, AB = 4. Боковая грань AA1D1D перпендикулярна основанию и имеет площадь 23. Найдите объём параллелепипеда.
|
|
| Задача 20. В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 5 и 7, боковое ребро \(\sqrt {21} \). Грани AA1B1B и AA1D1D составляют с основанием углы \({45^ \circ }\) и \({60^ \circ }.\) Найдите объём параллелепипеда.
|
|