Геометрия 10-11 класс. Объём конуса
Прямым круговым конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Другой катет треугольника, вращаясь вокруг этой же оси, дает круг, который называется основанием. При вращении вокруг этой оси гипотенузы получается фигура, называемая боковой поверхностью конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: \({S_{{\text{б}}{\text{.п}}{\text{.}}}} = \pi \,R\,L\,\); площадь полной поверхности конуса находится по формуле: \(S = \pi \,R\,L\, + \pi \,{R^2}\); объем конуса находится по формуле: \(V = \frac{1}{3}\pi \,{R^2}\,H\), где R – радиус основания; L – длина образующей; H – длина высоты конуса.
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. Площадь основания конуса равна 23, высота 6. Найдите объём конуса.
|
| Задача 2. Объём конуса равен 100, высота конуса – 10. Найдите площадь основания конуса.
|
| Задача 3. Объём конуса равен 25π, высота конуса – 3. Найдите диаметр основания конуса.
|
| Задача 4. Диаметр основания конуса и высота конуса равна 3. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 5. Радиус основания конуса равен 9, объём конуса равен – 243π. Найдите угол между образующей и плоскостью основания.
|
| Задача 6. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным 9. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 7. Образующая конуса равна \(3\sqrt 3 \) и наклонена к плоскости основания под углом \({60^\circ }\). Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 8. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса равна 20π, площадь основания – 16π. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 10. Объём конуса равен 320π, площадь основания – 64π. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на π.
|
| Задача 11. Образующая конуса равна \(\frac{6}{{\sqrt[3]{\pi }}}\) и составляет с плоскостью основания угол \({30^\circ }.\) Найдите объём конуса.
|
| Задача 12. Объём конуса равен 4,5π, высота конуса равна 6. Найдите котангенс угла между высотой и образующей конуса.
|
| Задача 13. Разность между образующей и высотой конуса равна 2, а угол между ними равен \({60^\circ }\). Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 14. Объём конуса равен 11,2. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
|
| Задача 15. В конус вписана треугольная пирамида с высотой 6 и сторонами основания 3, 4 и 5. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 16. Около конуса описана треугольная пирамида с высотой 9 и сторонами основания 6, 8 и 10. Найдите объём конуса, деленный на π.
|
| Задача 17. Прямоугольный треугольник с высотой, проведенной к гипотенузе, равной 6 и острым углом \({30^\circ }\) вращается вокруг большего катета. Найдите объём полученного тела вращения, деленный на π.
|
| Задача 18. Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вращается вокруг стороны длиной 14. Найдите объём полученного тела вращения, деленный на π.
|