Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам.
  • По катету и гипотенузе.
  • По гипотенузе и острому углу.
  • По катету и острому углу.

В прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла \({30^ \circ }\), равен половине гипотенузы.
  • Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен \({30^ \circ }\).
Задача 1. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\,\,\,\,\angle \,A = {30^ \circ },\)  BC = 7.  Найдите  AB.

Ответ

ОТВЕТ: 14.

Задача 2. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\,\,\,\,\angle \,B = {60^ \circ },\)  AB = 15.  Найдите  BC.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.

Задача 3. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\,\,\,\,\angle \,B = {45^ \circ },\)  AC = 4,5.  Найдите  BC.

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.

Задача 4. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,ACB = {90^ \circ },\) \(\angle \,B = {42^ \circ },\)  \(CM \bot AB.\)  Найдите \(\angle \,ACM.\)

Ответ

ОТВЕТ: 42.

Задача 5. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,ACB = {90^ \circ },\) \(\angle \,B = {59^ \circ },\)  \(CK \bot AB.\)  Найдите  \(\angle \,ACK.\)

Ответ

ОТВЕТ: 59.

Задача 6. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,ACB = {90^ \circ },\) \(\angle \,B = {45^ \circ },\)  \(CD \bot AB,\)  CD = 5.  Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 7. Известно, что в треугольнике ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\) \(\angle \,A = {30^ \circ },\,\,\,\,\angle \,BEC = {60^\circ },\)  CE = 4,6.  Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 13,8.

Задача 8. Известно, что в треугольнике PRQ  \(\angle \,PRQ = {90^ \circ },\) \(\angle \,P = {60^ \circ },\,\,\,\,RS \bot PQ,\)  PS = 4.  Найдите  SQ.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Задача 9. Известно, что в треугольнике NKM  \(\angle \,NKM = {90^ \circ },\) \(\angle \,M = {30^ \circ },\,\,\,\,\,\,KP \bot NM,\)  MN = 28.  Найдите  MP.

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Задача 10. Известно, что в треугольнике ABC AC = BC, \(BD \bot AC,\)  \(\angle \,ABD = {19^ \circ }.\)  Найдите  \(\angle \,CBE.\)

Ответ

ОТВЕТ: 109.

Задача 11. Известно, что в треугольнике  ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\)  \(\angle \,B = {60^ \circ },\)  \(AB + BC = 21.\)  Найдите  AB.

Ответ

ОТВЕТ: 14.

Задача 12. Известно, что в треугольнике  ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\)  \(\angle \,B = 2\angle \,A,\)  \(AB — BC = 6.\)  Найдите  BC.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 13. Известно, что в треугольнике  ABC  \(\angle \,C = {90^ \circ },\) \(\angle \,MBA = {120^ \circ },\) \(AB + BC = 27.\)  Найдите  BC.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Задача 14. Известно, что в треугольнике  MNK  MN = NK =KM = 14, P – середина MK,  \(PR \bot NK.\)  Найдите  NR.

Ответ

ОТВЕТ: 10,5.

Задача 15. Известно, что в треугольнике  ABC  AC =CB =12,6,  \(CD \bot AB,\)  CD = 6,3.  Найдите  \(\angle \,ABC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Задача 16. Известно, что в треугольнике  PRQ  \(\angle \,P = {90^ \circ },\) RS – биссектриса, \(SP = \frac{6}{7},\) \(RS = 1\,\frac{5}{7}.\)  Найдите \(\angle \,RQT.\)  Ответ дайте в градусах.
Ответ

ОТВЕТ: 150.

Задача 17. Известно, что в треугольнике  ABC  \(\angle \,A = {67^ \circ },\) CD и BE – высоты треугольника.  Найдите  \(\angle \,CMB.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 113.

Задача 18. Разность острых углов прямоугольного треугольника равна \({18^ \circ }.\) Найдите угол, лежащий против меньшего из катетов. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Задача 19. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 5 : 13. Найдите угол, лежащий против большего из катетов. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 65.

Задача 20. В прямоугольном треугольнике один из углов равен \({60^ \circ }\), а гипотенуза – 24. Из вершины прямого угла опущена высота. Найдите больший из отрезков, на которые разбивается гипотенуза.

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Задача 21. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 2 : 1. Из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 2,5. Найдите гипотенузу.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 22. В треугольнике ABC  \(\angle \,B = {90^ \circ },\)  AD и CM – биссектрисы, которые пересекаются в точке O. Найдите  \(\angle \,AOM.\) Ответ дайте в градусах. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Задача 23. Известно, что в треугольнике KNM    \(\angle \,NMK = {35^ \circ },\) \(\angle \,SNM = {20^ \circ },\,\)\(\angle \,PKM = {10^ \circ }.\,\) Найдите  \(\angle \,PSM.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Задача 24. Известно, что в треугольнике ABC \(\angle \,C = {90^ \circ },\) \(DE \bot AC,\) \(\angle \,CBE = {40^ \circ },\) \(\angle \,ADE = {45^ \circ },\,\) \(\angle \,EMA = {65^ \circ }.\,\) Найдите  \(\angle \,BDE.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 25. В треугольнике ABC \(\angle \,C = {90^ \circ },\,\,\,\,\angle \,B = {40^ \circ }.\)  На сторонах AB и BC отмечены точки D и E соответственно, \(\angle \,EAD = {5^ \circ },\,\,\,\,\angle \,ECD = {10^ \circ }.\) Найдите  \(\angle \,EDC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 85.

Задача 26. В треугольнике ABC \(\angle \,C = {90^ \circ },\) CD – высота треугольника, BC = 2 BD.  Докажите, что  AD = 3 DB.
Задача 27. В треугольнике ABC \(\angle \,B = {90^ \circ },\) BD – высота треугольника, AB = 2 BD.  Докажите, что  3 AC = 4 AD.