Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

  • Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
  • Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла \({30^ \circ },\) равен половине гипотенузы.
  • Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен \({30^ \circ }.\)
  • В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, а тангенс соответственно котангенсу, т.е. \(\sin A = \cos B,\) \(\cos A = \sin B,\) \(tgA = ctg\,B,\) \(ctg\,A = tg\,B,\) если \(\angle \,C = {90^ \circ }.\)

Задача 1. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 4, АВ = 10. Найдите sin A.

Ответ

ОТВЕТ: 0,4.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) АС = 2, АВ = 8. Найдите cos A.

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 12, АC = 3. Найдите tg A.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 12, АC = 6. Найдите ctg A.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) BC = 4, АВ = 5. Найдите sin B.

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 6. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) АС = 6, АВ = 10. Найдите cos B.

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.
Задача 7. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 5, АB = 13. Найдите tg B.

Ответ

ОТВЕТ: 2,4.
Задача 8. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 15, АB = 17. Найдите ctg B.

Ответ

ОТВЕТ: 1,875.
Задача 9. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 15, \(\sin A = \frac{1}{3}.\) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 45.
Задача 10. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) AВ = 15, \(\cos A = \frac{2}{5}.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 11. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 15, \({\rm{tg}}\,A = \frac{3}{2}.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 12. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) СВ = 9, \({\rm{ctg}}\,A = 4.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 36.
Задача 13. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,A = {60^ \circ },\) \(AC = 3\sqrt 3 .\) Найдите ВC.

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 14. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,A = {60^ \circ },\) \(BC = 5\sqrt 3 .\) Найдите АВ.

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 15. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,C = {30^ \circ },\) АВ = 8. Найдите АC.

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Задача 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,C = {30^ \circ },\) \(BC = 5\sqrt {27} .\) Найдите АС.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 17. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,C = {45^ \circ },\) \(AC = 6\sqrt 2 .\) Найдите АВ.

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 18. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В  \(\angle \,C = {45^ \circ },\) \(BC = 7\sqrt 2 .\) Найдите АС.

Ответ

ОТВЕТ: 14.
Задача 19. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ = 20 \(\angle \,C = {120^ \circ }.\) Найдите высоту, проведённую из вершины В.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 20. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) проведена высота СН. Найдите СВ, если \(\angle \,ACH = {30^ \circ },\,\,\,\,AC = 6\sqrt 3 .\)

Ответ

ОТВЕТ: 18.
Задача 21. В треугольнике АВС \(\angle \,A = {60^ \circ },\,\,\,\,\angle \,C = {45^ \circ },\) ВН – высота. Найдите ВС, если \(AH = \sqrt 6 .\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Задача 22. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) проведена высота СН. Найдите  cos A,  если  СН = 6,  СВ = 10.

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 23. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 10 и ВС = 4  найдите  sin А,  если  АВ = 5.

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.
Задача 24. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD = 12 и ВС = 5, \(\angle \,A = {90^ \circ }.\) Найдите угол D, если \(AB = 7\sqrt 3 .\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.
Задача 25. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведены высоты AN и СМ. Найдите отношение AN : СМ, если \(\cos B = \frac{1}{5}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 2 : 5.
Задача 26. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведены высоты AN и СМ. Найдите отношение AN : СМ, если \(\sin B = \frac{3}{5}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 8 : 5.
Задача 27. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6 и ВС = 8 диагонали которого пересекаются в точке О. Найдите \(\sin \,\angle \,AOB.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,96.
Задача 28. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) проведена медиана СМ = 17.  Найдите  \(\sin \,\angle \,BCM,\)  если  СВ = 16.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{15}}{{17}}.\)
Задача 29. В прямоугольном треугольнике АВС \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\) и \(\angle \,A < {45^ \circ }\) проведена медиана СМ и высота СН. Найдите sin A, если AВ = 12 и \(MH = 3\sqrt 3 .\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {2 — \sqrt 3 } }}{2}.\)
Задача 30. В трапеции ABCD с основаниями AD = 10 и ВС проведена высота ВН треугольника АВС. Найдите \(\cos \,\angle \,HBC,\) если CD = 6  и АС = 8.

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.