Геометрия 7-9 класс. Касательная к окружности

Касательная к окружности: если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны \(\left( {AM = AN} \right)\) и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, обладает свойством: \(\angle \,MAO = \angle \,NAO\).

Касательная   перпендикулярна   радиусу,   проведённому  к  точке  касания (\(OA \bot AB\)).

Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги стягиваемой этой хордой, т.е. \(\angle \,AOC = 2\angle \,BAC\).

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).

1)      Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих окружностей.

2)    Окружности радиусов r и R с центрами О₁ и О₂ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда \(R + r = {O_1}{O_2}.\)

3)    Окружности радиусов r и R  \(\left( {r < R} \right)\)  с центрами О₁ и О₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда \(R — r = {O_1}{O_2}.\)

4)    Окружности с центрами О₁ и О₂ касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда \(\angle \,AKB = {90^\circ }\)  и  \(\angle \,{O_1}C{O_2} = {90^\circ }\)  и  CA = CB = CK.

5) Отрезок общей внешней касательной AB к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной CD, заключённому между общими внешними касательными и эти отрезки \(AB = CD = MN = 2\sqrt {Rr} .\)