Геометрия 7-9 класс. Центральные и вписанные углы
Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки этой же плоскости. Эта точка называется центром окружности, а данное расстояние радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей. Равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равноудаленные от центра окружности хорды равны.
|
Центральным углом в окружности называется угол с вершиной в ее центре (это \(\angle \,AOB\)). Часть окружности, расположенная внутри центрального угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (это \(\angle \,ACB\)). Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, т.е. \(\angle \,AOB = 2\angle \,ACB\). |
 |
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (\(\angle \,ACB = \angle \,ADB\)). |
 |
| Задача 1. По данным на рисунке найдите \(\angle \,NKO,\) если \(\angle \,MOK = {72^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 2. По данным на рисунке найдите \(\angle \,KML,\) если \( \cup \,MK = {140^ \circ },\,\,\,\, \cup \,ML = {98^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 3. По данным на рисунке найдите \(\angle \,MSN,\) если \( \cup \,SN = {112^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 4. По данным на рисунке найдите меньшую дугу с концами в точках S и N, если \(\angle \,MSN = {42^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 5. По данным на рисунке найдите ОК, если ОМ = 14.
|
 |
| Задача 6. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AMB,\) если \( \cup \,AB = {73^ \circ },\) а прямая МА является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 7. По данным на рисунке найдите \(\angle \,NMK,\) если \( \cup \,MN = {100^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 8. По данным на рисунке найдите \(\angle \,NMK,\) если MK = KP, а прямая NP является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 9. По данным на рисунке найдите хорду ТК, если \( \cup \,TK = {60^ \circ },\) а радиус окружности равен 7,5.
|
 |
| Задача 10. По данным на рисунке найдите ТМ, если SE = ET, а радиус окружности равен 5,5.
|
 |
| Задача 11. По данным на рисунке найдите RE, если ME = EN, \(\angle \,RME = {30^ \circ },\) а RN = 16.
|
 |
| Задача 12. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AMB,\) если \( \cup AMB\,\,:\,\, \cup ANB = 5:13.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 13. По данным на рисунке найдите \(\angle \,MKT,\) если\( \cup KM = {140^ \circ },\) \( \cup KT\,\,:\,\, \cup TM = 7:4.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 14. По данным на рисунке найдите \(\angle \,BAC,\) если \( \cup \,CA\,\,:\,\, \cup AB\,\,:\,\, \cup BC = 2:3:4.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 15. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке К. Найдите СК, если DK = 2, АК =8, ВК = 3.
|
|
| Задача 16. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке К. Найдите АК, если DK = 5, CD =9, ВК = 4.
|
|
| Задача 17. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AMD,\) если \( \cup AD = {102^ \circ },\,\,\, \cup BC = {10^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 18. По данным на рисунке найдите \( \cup AD,\) если \(\angle \,AMD = {50^ \circ },\) \(\, \cup BC = {12^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 19. По данным на рисунке найдите \(\angle \,EAF,\) если \( \cup EF = {73^ \circ },\,\,\, \cup BC = {15^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 20. По данным на рисунке найдите \( \cup EF,\) если \(\angle \,EAF = {25^ \circ },\) \(\, \cup BC = {12^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 21. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AOB,\) если \(\angle \,BAC = {35^ \circ },\) а прямая АС является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 22. По данным на рисунке найдите \(\angle \,BAC,\) если \(\angle \,AOB = {68^ \circ },\) а прямая АС является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 23. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке К. Докажите, что \(AK \cdot KB = CK \cdot KD.\) | |
| Задача 24. Прямая АС – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности, О – центр окружности (см. рис.). Докажите, что \(\angle \,CAB\) в два раза меньше \(\angle \,BOA.\) |  |
| Задача 25. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В и Е, а другая – в точках С и F (см. рис.). Докажите, что \(AB \cdot AE = AC \cdot AF.\) |  |
| Задача 26. Через точку М, лежащую вне окружности, проведена касательная МА (А – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках В и С (см. рис.). Докажите, что \(M{A^2} = MB \cdot MC.\) |  |
| Задача 27. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В и Е, а другая – в точках С и F (см. рис.). Докажите, что \(\angle \,EAF = \frac{{ \cup EF — \cup BC}}{2}.\) |  |
| Задача 28. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что \(\angle \,AMD = \frac{{ \cup AD + \cup BC}}{2}.\) |  |
| Задача 29. По данным на рисунке найдите МК, если радиус окружности равен 10, КN = 12, а прямая МК является касательной к окружности.
|
 |
| Задача 30. По данным на рисунке найдите ВЕ, если радиус окружности равен \(\sqrt 3 ,\) \( \cup AE = {120^ \circ },\) а прямая ВС является касательной к окружности.
|
 |
| Задача 31. По данным на рисунке найдите \( \cup BC,\) если \(\angle \,CMA = {55^ \circ },\) \( \cup CB — \cup AD = {64^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 32. По данным на рисунке найдите площадь треугольника АВС, если АС = 10, ВС = 7.
|
 |
| Задача 33. По данным на рисунке найдите x.
|
 |
| Задача 34. По данным на рисунке найдите периметр треугольника АВС.
|
 |
| Задача 35. По данным на рисунке найдите MN, если ABCD квадрат со стороной \(2\sqrt 6 .\)
|
 |