Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Четыре замечательные точки треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется центром тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
  2. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
  3. Теорема о высотах треугольника: прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
  4. Теорема о биссектрисах треугольника: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Задача 1. По данным на рисунке найдите МО, если радиус окружности равен 12, \(\angle \,NMK = {60^ \circ },\) а прямые МК и MN являются касательными к окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 2. По данным на рисунке найдите \(\angle \,FNO,\) если \(\angle \,MKN = {62^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 28.

Задача 3. По данным на рисунке найдите \(\angle \,MCB,\) если \(\angle \,AMB = {130^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 40.

Задача 4. По данным на рисунке найдите CK, если  MK = 22  и  CN = 15.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 5. По данным на рисунке найдите площадь треугольника BOQ, если ВТ = 15 и QM = 12.

Ответ

ОТВЕТ: 40.

Задача 6. По данным на рисунке найдите площадь треугольника MKN, если MN = 28 и RK = 22.

Ответ

ОТВЕТ: 154.

Задача 7. По данным на рисунке найдите OK, если RO = 28  и  \(\angle \,OPK = {30^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ: 14.

Задача 8. По данным на рисунке найдите QB, если  BT = 6  и  QM = 4,5.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 9. По данным на рисунке найдите OR, если  BT = 12  и  QM = 9.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 10. По данным на рисунке найдите OC, если \(\angle \,AOB = {120^ \circ }\) и \(AB = 15\sqrt 3 .\)

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 11. По данным на рисунке найдите MN, если MK = NK = 22, а периметр треугольника MNB равен 38.

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 12. По данным на рисунке найдите площадь треугольника BOC, если ОК = 6 и ВС = 14.

Ответ

ОТВЕТ: 42.

Задача 13. По данным на рисунке найдите \(\angle \,MON,\) если \(\angle \,OKM = {22^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 112.

Задача 14. По данным на рисунке найдите OK, если \(\angle \,MEF = {60^ \circ }\)  и  ОЕ = 16,8.

Ответ

ОТВЕТ: 8,4.

Задача 15. По данным на рисунке найдите ОЕ, если  ОК = 8,  OF = 6  и  FP = 8.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.

Задача 16. По данным на рисунке найдите площадь треугольника BOC, если ОА = 6 и \(\angle \,BOC = {60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(9\sqrt 3 .\)

Задача 17. Дан равнобедренный треугольник АВС  АВ = ВС = 26,  АС = 20. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до точки пересечения высот.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{23}}{6}.\)