Запишем область допустимых значений: \(x-2 \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ne 2.\)
Пусть \(\dfrac{1}{{x-2}} = t,\) тогда уравнение примет вид:
\({t^2}-t-6 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-1} \right)^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-6} \right) = 25;\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3,\\t = \dfrac{{1-5}}{2} = -2.\end{array} \right.\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x-2}} = 3,\\\dfrac{1}{{x-2}} = -2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-2 = \dfrac{1}{3},\\x-2 = -\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{3},\\x = \dfrac{3}{2}.\end{array} \right.\)
Ответ: \(\dfrac{3}{2};\,\,\,\,\dfrac{7}{3}.\)