Область определения функции:
\({x^2}-4x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {x-4} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x-4 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne 4.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = -1-\dfrac{{x-4}}{{{x^2}-4x}} = -1-\dfrac{{x-4}}{{x\left( {x-4} \right)}} = -1-\dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 4.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = -1-\dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = -1-\dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 4:\)
\(y\left( {-2} \right) = -1-\dfrac{1}{{-2}} = -1 + \dfrac{1}{2} = -0,5;\) \(y\left( {-1} \right) = -1-\dfrac{1}{{-1}} = -1 + 1 = 0;\)
\(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = -1-\dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -1 + 2 = 1;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = -1-\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = -1-2 = -3;\)
\(y\left( 1 \right) = -1-\dfrac{1}{1} = -2;\) \(y\left( 2 \right) = -1-\dfrac{1}{2} = -1,5;\) \(y\left( 4 \right) = -1-\dfrac{1}{4} = -1,25;\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
4 |
| y |
\(-0,5\) |
0 |
1 |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1,5\) |
\(-1,25\) |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {4;-1,25} \right)\), изображён на рис. 1.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек (см. рис. 2).
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -1,25\), проходящая через выколотую точку \(\left( {4;-1,25} \right)\);
случай (2): прямая \(y = -1\), совпадающая с горизонтальной асимптотой к графику исходной функции.
Следовательно, при \(m = -1,25\) и \(m = -1\) прямая \(y = m\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек.
Ответ: \(-1,25;\,\,\,\,-1.\)