Область определения функции:
\({x^2}-5x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {x-5} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x-5 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne 5.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = 2-\dfrac{{x-5}}{{{x^2}-5x}} = 2-\dfrac{{x-5}}{{x\left( {x-5} \right)}} = 2-\dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 5.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = 2-\dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = 2-\dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 5:\)
\(y\left( {-2} \right) = 2-\dfrac{1}{{-2}} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2,5;\) \(y\left( {-1} \right) = 2-\dfrac{1}{{-1}} = 2 + 1 = 3;\)
\(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = 2-\dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = 2 + 2 = 4;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 2-\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 2-2 = 0;\)
\(y\left( 1 \right) = 2-\dfrac{1}{1} = 1;\) \(y\left( 2 \right) = 2-\dfrac{1}{2} = 1,5;\) \(y\left( 5 \right) = 2-\dfrac{1}{5} = 1,8;\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
5 |
| y |
2,5 |
3 |
4 |
0 |
1 |
1,5 |
1,8 |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {5;1,8} \right)\), изображён на рис. 1.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек (см. рис. 2).
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 1,8\), проходящая через выколотую точку \(\left( {5;1,8} \right)\);
случай (2): прямая \(y = 2\), совпадающая с горизонтальной асимптотой к графику исходной функции.
Следовательно, при \(m = 1,8\) и \(m = 2\) прямая \(y = m\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек.
Ответ: \(1,8;\,\,\,\,\,2.\)