Область определения функции:
\({x^2} + 5x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {x + 5} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x + 5 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne -5.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = 1-\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + 5x}} = 1-\dfrac{{x + 5}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = 1-\dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne -5.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = 1-\dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = 1-\dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -5,\) \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( {-5} \right) = 1-\dfrac{1}{{-5}} = 1 + \dfrac{1}{5} = 1,2;\) \(y\left( {-2} \right) = 1-\dfrac{1}{{-2}} = 1 + \dfrac{1}{2} = 1,5;\)
\(y\left( {-1} \right) = 1-\dfrac{1}{{-1}} = 1 + 1 = 2;\) \(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = 1-\dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = 1 + 2 = 3;\)
\(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 1-\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 1-2 = -1;\) \(y\left( 1 \right) = 1-\dfrac{1}{1} = 0;\) \(y\left( 2 \right) = 1-\dfrac{1}{2} = 0,5.\)
| x |
\(-5\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
| y |
1,2 |
1,5 |
2 |
3 |
\(-1\) |
0 |
0,5 |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-5;1,2} \right)\), изображён на рис. 1.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек (см. рис. 2).
Подходят:
случай (1): прямая \(y = 1\), совпадающая с горизонтальной асимптотой к графику исходной функции;
случай (2): прямая \(y = 1,2\), проходящая через выколотую точку \(\left( {-5;1,2} \right)\).
Следовательно, при \(m = 1\) и \(m = 1,2\) прямая \(y = m\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек.
Ответ: \(1;\,\,\,\,1,2.\)