Область определения функции:
\({x^2}-x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {x-1} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x-1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne 1.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = -5-\dfrac{{x-1}}{{{x^2}-x}} = -5-\dfrac{{x-1}}{{x\left( {x-1} \right)}} = -5-\dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 1.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = -5-\dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = -5-\dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( {-2} \right) = -5-\dfrac{1}{{-2}} = -5 + \dfrac{1}{2} = -4,5;\) \(y\left( {-1} \right) = -5-\dfrac{1}{{-1}} = -5 + 1 = -4;\)
\(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = -5-\dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -5 + 2 = -3;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = -5-\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = -5-2 = -7;\)
\(y\left( {-5} \right) = -5-\dfrac{1}{1} = -6;\) \(y\left( 2 \right) = -5-\dfrac{1}{2} = -5,5.\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
| y |
\(-4,5\) |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-7\) |
\(-6\) |
\(-5,5\) |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {1;-6} \right)\), изображён на рис. 1.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек (см. рис. 2).
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -6\), проходящая через выколотую точку \(\left( {1;-6} \right)\).
случай (2): прямая \(y = -5\), совпадающая с горизонтальной асимптотой к графику исходной функции;
Следовательно, при \(m = -6\) и \(m = -5\) прямая \(y = m\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек.
Ответ: \(-6;\,\,\,\,\,\,-5.\)