Область определения функции:
\({x^2}-3x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {x-3} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x-3 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne 3.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = \dfrac{{x-3}}{{{x^2}-3x}} = \dfrac{{x-3}}{{x\left( {x-3} \right)}} = \dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 3.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = \dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 3:\)
\(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -\dfrac{1}{2};\) \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\) \(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -2;\)
\(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 2;\) \(y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{1} = 1;\) \(y\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2};\) \(y\left( 3 \right) = \dfrac{1}{3}.\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
3 |
| y |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(-1\) |
\(-2\) |
2 |
1 |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{3}\) |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {3;\dfrac{1}{3}} \right)\), изображён на рис. 1.
Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)
Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в случае, если она пройдёт через выколотую точку \(\left( {3;\dfrac{1}{3}} \right)\) и пересечёт его в третьей четверти. Точка пересечения отмечена красным цветом (см. рис. 2). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):
\(\dfrac{1}{3} = k \cdot 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \dfrac{1}{9}.\)
Следовательно, при \(k = \dfrac{1}{9}\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку.
Ответ: \(\dfrac{1}{9}.\)