Область определения функции:
\(2{x^2} + 5x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {2x + 5} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\2x + 5 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne -\dfrac{5}{2}.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = \dfrac{{2x + 5}}{{2{x^2} + 5x}} = \dfrac{{2x + 5}}{{x\left( {2x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne -\dfrac{5}{2}.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = \dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -\dfrac{5}{2},\) \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( {-\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{5}{2}}} = -\dfrac{2}{5};\) \(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -\dfrac{1}{2};\) \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\)
\(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -2;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 2;\) \(y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{1} = 1;\) \(y\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}.\)
| x |
\(-\dfrac{5}{2}\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
2 |
| y |
\(-\dfrac{2}{5}\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(-1\) |
\(-2\) |
2 |
1 |
\(\dfrac{1}{2}\) |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{2}{5}} \right)\), изображён на рис. 1.
Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)
Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в случае, если она пройдёт через выколотую точку \(\left( {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{2}{5}} \right)\) и пересечёт его в первой четверти. Точка пересечения отмечена красным цветом (см. рис. 2). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):
\(-\dfrac{2}{5} = k \cdot \left( {-\dfrac{5}{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \dfrac{4}{{25}}.\)
Следовательно, при \(k = \dfrac{4}{{25}}\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку.
Ответ: \(\dfrac{4}{{25}}.\)