Область определения функции:
\(4{x^2}-5x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {4x-5} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\4x-5 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne \dfrac{5}{4}.\end{array} \right.\)
Упростим заданную функцию:
\(y = \dfrac{{4x-5}}{{4{x^2}-5x}} = \dfrac{{4x-5}}{{x\left( {4x-5} \right)}} = \dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \dfrac{5}{4}.\)
Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой.
Для построения графика функции \(y = \dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1,\) \(x = \dfrac{5}{4}\) и \(x = 2:\)
\(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -\dfrac{1}{2};\) \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\) \(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -2;\)
\(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 2;\) \(y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{1} = 1;\) \(y\left( {\dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{1}{{\dfrac{5}{4}}} = \dfrac{4}{5};\) \(y\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}.\)
| x |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
1 |
\(\dfrac{5}{4}\) |
2 |
| y |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(-1\) |
\(-2\) |
2 |
1 |
\(\dfrac{4}{5}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {\dfrac{5}{4};\dfrac{4}{5}} \right)\), изображён на рис. 1.
Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)
Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в случае, если она пройдёт через выколотую точку \(\left( {\dfrac{5}{4};\dfrac{4}{5}} \right)\) и пересечёт его в третьей четверти. Точка пересечения отмечена красным цветом (см. рис. 2). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):
\(\dfrac{4}{5} = k \cdot \dfrac{5}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \dfrac{{16}}{{25}}.\)
Следовательно, при \(k = \dfrac{{16}}{{25}}\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку.
Ответ: \(\dfrac{{16}}{{25}}.\)