Задача 8. Постройте график функции \(y = \dfrac{{6x + 7}}{{6{x^2} + 7x}}.\)
Определите, при каких значениях k прямая \(y = k\,x\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
ОТВЕТ: \(\dfrac{{36}}{{49}}.\)
Область определения функции: \(6{x^2} + 7x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x\left( {6x + 7} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\6x + 7 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne -\dfrac{7}{6}.\end{array} \right.\) Упростим заданную функцию: \(y = \dfrac{{6x + 7}}{{6{x^2} + 7x}} = \dfrac{{6x + 7}}{{x\left( {6x + 7} \right)}} = \dfrac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,\,x \ne -\dfrac{7}{6}.\) Следовательно, графиком исходной функции является гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\) с выколотой точкой. Для построения графика функции \(y = \dfrac{1}{x}\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -\dfrac{7}{6},\) \(x = -1,\) \(x = -\dfrac{1}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2},\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -\dfrac{1}{2};\) \(y\left( {-\dfrac{7}{6}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{7}{6}}} = -\dfrac{6}{7};\) \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\) \(y\left( {-\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{-\dfrac{1}{2}}} = -2;\) \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}} = 2;\) \(y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{1} = 1;\) \(y\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}.\) Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\) Прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком построенной функции одну общую точку в случае, если она пройдёт через выколотую точку \(\left( {-\dfrac{7}{6};-\dfrac{6}{7}} \right)\) и пересечёт его в первой четверти. Точка пересечения отмечена красным цветом (см. рис. 2). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\): \(-\dfrac{6}{7} = k \cdot \left( {-\dfrac{7}{6}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = \dfrac{{36}}{{49}}.\) Следовательно, при \(k = \dfrac{{36}}{{49}}\) прямая \(y = k\,x\) будет иметь с графиком заданной функции ровно одну общую точку. Ответ: \(\dfrac{{36}}{{49}}.\)
x
\(-2\)
\(-\dfrac{7}{6}\)
\(-1\)
\(-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
1
2
y
\(-\dfrac{1}{2}\)
\(-\dfrac{6}{7}\)
\(-1\)
\(-2\)
2
1
\(\dfrac{1}{2}\)
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-\dfrac{7}{6};-\dfrac{6}{7}} \right)\), изображён на рис. 1.