Задача 15. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-8x + 14\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x \ge 3,\\x-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup \left( {-1;1} \right).\)
Решение
Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-8x + 14\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:
\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-8}}{{2 \cdot 1}} = 4.\)
Для построения графика \(y = {x^2}-8x + 14\) при \(x \ge 3\) возьмём значения \(x = 3,\) \(x = 4,\) \(x = 5\) и \(x = 6:\)
\(y\left( 3 \right) = {3^2}-8 \cdot 3 + 14 = 9-24 + 14 = -1;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^2}-8 \cdot 4 + 14 = 16-32 + 14 = -2;\)
\(y\left( 5 \right) = {5^2}-8 \cdot 5 + 14 = 25-40 + 14 = -1;\)
\(y\left( 6 \right) = {6^2}-8 \cdot 6 + 14 = 36-48 + 14 = 2.\)
| x |
3 |
4 |
5 |
6 |
| y |
\(-1\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
2 |
Графиком линейной функции \(y = x-2\) является прямая. Для построения графика функции \(y = x-2\) при \(x < 3\) возьмём значения \(x = 2\) и \(x = 3:\)
\(y\left( 2 \right) = 2-2 = 0;\) \(y\left( 3 \right) = 3-2 = 1.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 3\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {3;1} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {3;-1} \right)\) — закрашенная.
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -2\), проходящая через вершину параболы \(\left( {4;-2} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = -1\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {3;-1} \right)\), и (3): прямая \(y = 1\), проходящая через выколотую точку \(\left( {3;1} \right)\), не включая их, так как при \(y = -1\) будет три общих точки, а при \(y = 1\) одна общая точка.
Следовательно, при \(m \in \left\{ {-2} \right\} \cup \left( {-1;1} \right)\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup \left( {-1;1} \right).\)