Задача 3. Постройте график функции \(y = \left\{ \begin{array}{l}x-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,x < 3,\\-1,5x + 4,5\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,3 \le x \le 4,\\1,5x-7,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,x > 4.\end{array} \right.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left\{ {-1,5} \right\} \cup \left[ {-1;0} \right].\)
Решение
Графиком каждой из трёх заданных линейных функций является прямая. Построим график каждой из этих функций при заданных значениях переменной x:
1) для построения графика \(y = x-4\) при \(x < 3\) возьмём значения \(x = 2\) и \(x = 3:\)
\(y\left( 2 \right) = 2-4 = -2;\) \(y\left( 3 \right) = 3-4 = -1.\)
2) для построения графика \(y = -1,5x + 4,5\) при \(3 \le x \le 4\) возьмём значения \(x = 3\) и \(x = 4:\)
\(y\left( 3 \right) = -1,5 \cdot 3 + 4,5 = -4,5 + 4,5 = 0;\) \(y\left( 4 \right) = -1,5 \cdot 4 + 4,5 = -6 + 4,5 = -1,5.\)
3) для построения графика \(y = 1,5x-7,5\) при \(x > 4\) возьмём значения \(x = 4\) и \(x = 5:\)
\(y\left( 4 \right) = 1,5 \cdot 4-7,5 = 6-7,5 = -1,5;\) \(y\left( 5 \right) = 1,5 \cdot 5-7,5 = 7,5-7,5 = 0.\)
Построим график (см. рис. 1). В точке \(x = 3\) функция имеет разрыв, точка \(\left( {3;-1} \right)\) — выколотая, точка \(\left( {3;0} \right)\) — закрашенная. Точка \(\left( {4;-1,5} \right)\) является точкой стыка функций \(y = -1,5x + 4,5\) и \(y = 1,5x-7,5\).
Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.
Подходят:
случай (1): прямая \(y = -1,5\), проходящая через точку стыка \(\left( {4;-1,5} \right)\);
все случаи между (2): прямая \(y = -1\), проходящая через выколотую точку \(\left( {3;-1} \right)\), и (3): прямая \(y = 0\), проходящая через закрашенную точку \(\left( {3;0} \right)\), включая их.
Следовательно, при \(m \in \left\{ {-1,5} \right\} \cup \left[ {-1;0} \right]\) прямая \(y = m\) имеет с графиком две общие точки.
Ответ: \(\left\{ {-1,5} \right\} \cup \left[ {-1;0} \right].\)