Задача 10. Постройте график функции \(y = \left| {{x^2} + 4x-5} \right|.\)
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
ОТВЕТ: 4.
Для построения графика функции \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) необходимо построить график функции \(y = f\left( x \right)\), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат не ниже оси абсцисс, а части, расположенные ниже, отобразить симметрично наверх относительно этой оси. Поэтому для построения графика заданной функции сначала разберёмся с графиком функции \(y = {x^2} + 4x-5\), а для этого найдём его точки пересечения с осью абсцисс: \({x^2} + 4x-5 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {4^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-5} \right) = 36;\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{-4-6}}{2} = -5,\\x = \dfrac{{-4 + 6}}{2} = 1.\end{array} \right.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 4x-5\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{4}{{2 \cdot 1}} = -2.\) Для построения графика \(y = {x^2} + 4x-5\) возьмём значения \(\) \(x = -5,\) \(x = -2,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {-6} \right) = {\left( {-6} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-6} \right)-5 = 36-24-5 = 7;\) \(y\left( {-5} \right) = {\left( {-5} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-5} \right)-5 = 25-20-5 = 0;\) \(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 4 \cdot \left( {-2} \right)-5 = 4-8-5 = -9;\) \(y\left( 1 \right) = {1^2} + 4 \cdot 1-5 = 1 + 4-5 = 0;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2} + 4 \cdot 2-5 = 4 + 8-5 = 7.\) Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней, задаются уравнением \(y = m.\) Определим, какое наибольшее количество общих точек может иметь прямая \(y = m\) с график исходной функции (см. рис. 2). Точки пересечения отмечены красным цветом. Если \(m < 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции не имеет общих точек. Если \(m = 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Если \(0 < m < 9\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 4 общие точки. Если \(m = 9\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 3 общие точки. Если \(m > 9\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Следовательно, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4. Ответ: 4.
x
\(-6\)
\(-5\)
\(-2\)
1
2
y
7
0
\(-9\)
0
7
Для построения графика заданной функции построим сначала график функции \(y = {x^2} + 4x-5\), затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участок от \(-5\) до 1 (изображённый пунктирной линией), находящийся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс. При этом вершина \(\left( {-2;-9} \right)\) отразится в точку \(\left( {-2;9} \right)\) (см. рис. 1).