ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 11

ОТВЕТ:  \(-12,25;\,\,\,\,\,6,25.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot \left( {x-1} \right)-6x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x \cdot \left( {x-1} \right)-6x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-7x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-5x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-5x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-5}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -2,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-5x\) при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -5,\)  \(x = -4,\)  \(x = -2,5,\)  \(x = -1\)   и \(x = 0:\)

\(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-5 \cdot \left( {-5} \right) = -25 + 25 = 0;\)

\(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-5 \cdot \left( {-4} \right) = -16 + 20 = 4;\)

\(y\left( {-2,5} \right) = -{\left( {-2,5} \right)^2}-5 \cdot \left( {-2,5} \right) = -6,25 + 12,5 = 6,25;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-5 \cdot \left( {-1} \right) = -1 + 5 = 4;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-5 \cdot 0 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-7x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-7}}{{2 \cdot 1}} = 3,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-7x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения \(x = 0,\)  \(x = 2,\)  \(x = 3,5,\)  \(x = 5\)   и \(x = 7:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-7 \cdot 0 = 0;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-7 \cdot 2 = 4-14 = -10;\)

\(y\left( {3,5} \right) = {3,5^2}-7 \cdot 3,5 = 12,25-24,5 = -12,25;\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-7 \cdot 5 = 25-35 = -10;\)

\(y\left( 7 \right) = {7^2}-7 \cdot 7 = 49-49 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -12,25\), проходящая через вершину \(\left( {3,5;-12,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх;

случай (2): прямая \(y = 6,25\), проходящая через вершину \(\left( {-2,5;6,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз.

Следовательно, при \(m = -12,25\) и \(m = 6,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: \(-12,25;\,\,\,\,\,6,25.\)