Задача 13. Постройте график функции \(y = \left| x \right| \cdot \left( {x + 1} \right)-3x.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,4.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot \left( {x + 1} \right)-3x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x \cdot \left( {x + 1} \right)-3x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-2x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-4x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-4x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -2.\) Для построения графика \(y = -{x^2}-4x\) при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -2,\) \(x = -1\) и \(x = 0:\) \(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-4 \cdot \left( {-4} \right) = -16 + 16 = 0;\) \(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-4 \cdot \left( {-3} \right) = -9 + 12 = 3;\) \(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-4 \cdot \left( {-2} \right) = -4 + 8 = 4;\) \(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-4 \cdot \left( {-1} \right) = -1 + 4 = 3;\) \(y\left( 0 \right) = -{0^2}-4 \cdot 0 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-2x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-2}}{{2 \cdot 1}} = 1.\) Для построения графика \(y = {x^2}-2x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 3:\) \(y\left( 0 \right) = {0^2}-2 \cdot 0 = 0;\) \(y\left( 1 \right) = {1^2}-2 \cdot 1 = 1-2 = -1;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2}-2 \cdot 2 = 4-4 = 0;\) \(y\left( 3 \right) = {3^2}-2 \cdot 3 = 9-6 = 3.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через вершину \(\left( {1;-1} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх; случай (2): прямая \(y = 4\), проходящая через вершину \(\left( {-2;4} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз. Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 4\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,4.\)
x
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
0
y
0
3
4
3
0
x
0
1
2
3
y
0
\(-1\)
0
3
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.