ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 16

ОТВЕТ: \(-6,25;\,\,\,\,\,12,25.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot \left( {x + 1} \right)-6x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-x \cdot \left( {x + 1} \right)-6x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-5x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-7x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-7x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-7}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -3,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-7x\) при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -7,\) \(x = -5,\) \(x = -3,5,\) \(x = -2\) и \(x = 0:\)

\(y\left( {-7} \right) = -{\left( {-7} \right)^2}-7 \cdot \left( {-7} \right) = -49 + 49 = 0;\)

\(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-7 \cdot \left( {-5} \right) = -25 + 35 = 10;\)

\(y\left( {-3,5} \right) = -{\left( {-3,5} \right)^2}-7 \cdot \left( {-3,5} \right) = -12,25 + 24,5 = 12,25;\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-7 \cdot \left( {-2} \right) = -4 + 14 = 10;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-7 \cdot 0 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-5x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-5}}{{2 \cdot 1}} = 2,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-5x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2,5,\) \(x = 4\) и \(x = 5:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-5 \cdot 0 = 0;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-5 \cdot 1 = 1-5 = -4;\)

\(y\left( {2,5} \right) = {2,5^2}-5 \cdot 2,5 = 6,25-12,5 = -6,25;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^2}-5 \cdot 4 = 16-20 = -4;\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-5 \cdot 5 = 25-25 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -6,25\), проходящая через вершину \(\left( {2,5;-6,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх;

случай (2): прямая \(y = 12,25\), проходящая через вершину \(\left( {-3,5;12,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз.

Следовательно, при \(m = -6,25\) и \(m = 12,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: \(-6,25;\,\,\,\,\,12,25.\)