ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 18

ОТВЕТ: \(-4;\,\,\,\,\,9.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot \left( {x + 1} \right)-5x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-x \cdot \left( {x + 1} \right)-5x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-4x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-6x\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-6x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-6}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -3.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-6x\) при \(x < 0\) возьмём значения   \(x = -6,\)   \(x = -5,\)   \(x = -3,\)   \(x = -1\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-6} \right) = -{\left( {-6} \right)^2}-6 \cdot \left( {-6} \right) = -36 + 36 = 0;\)

\(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-6 \cdot \left( {-5} \right) = -25 + 30 = 5;\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-6 \cdot \left( {-3} \right) = -9 + 18 = 9;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-6 \cdot \left( {-1} \right) = -1 + 6 = 5;\)

\(y\left( 0 \right) = -{0^2}-6 \cdot 0 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-4x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot 1}} = 2.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-4x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения   \(x = 0,\)   \(x = 1,\)   \(x = 2,\)   \(x = 3\)   и   \(x = 4:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-4 \cdot 0 = 0;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-4 \cdot 1 = 1-4 = -3;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-4 \cdot 2 = 4-8 = -4;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-4 \cdot 3 = 9-12 = -3;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^2}-4 \cdot 4 = 16-16 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -4\), проходящая через вершину \(\left( {2;-4} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх;

случай (2): прямая \(y = 9\), проходящая через вершину \(\left( {-3;9} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз.

Следовательно, при \(m = -4\) и \(m = 9\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: \(-4;\,\,\,\,\,9.\)