Задача 2. Постройте график функции \(y = \left| {{x^2}-4x + 3} \right|.\)
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
ОТВЕТ: 4.
Для построения графика функции \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) необходимо построить график функции \(y = f\left( x \right)\), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат не ниже оси абсцисс, а части, расположенные ниже, отобразить симметрично наверх относительно этой оси. Поэтому для построения графика заданной функции сначала разберёмся с графиком функции \(y = {x^2}-4x + 3\), а для этого найдём его точки пересечения с осью абсцисс: \({x^2}-4x + 3 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {\left( {-4} \right)^2}-4 \cdot 1 \cdot 3 = 4;\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{4-2}}{2} = 1,\\x = \dfrac{{4 + 2}}{2} = 3.\end{array} \right.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-4x + 3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot 1}} = 2.\) Для построения графика \(y = {x^2}-4x + 3\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2,\) \(x = 3\) и \(x = 4:\) \(y\left( 0 \right) = {0^2}-4 \cdot 0 + 3 = 3;\) \(y\left( 1 \right) = {1^2}-4 \cdot 1 + 3 = 1-4 + 3 = 0;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2}-4 \cdot 2 + 3 = 4-8 + 3 = -1;\) \(y\left( 3 \right) = {3^2}-4 \cdot 3 + 3 = 9-12 + 3 = 0;\) \(y\left( 4 \right) = {4^2}-4 \cdot 4 + 3 = 16-16 + 3 = 3.\) Для построения графика заданной функции построим сначала график функции \(y = {x^2}-4x + 3\), затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участок от 1 до 3 (изображённый пунктирной линией), находящийся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс. При этом вершина \(\left( {2;-1} \right)\) отразится в точку \(\left( {2;1} \right)\) (см. рис. 1). Если \(m < 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции не имеет общих точек. Если \(m = 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Если \(0 < m < 1\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 4 общие точки. Если \(m = 1\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 3 общие точки. Если \(m > 1\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Следовательно, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4. Ответ: 4.
x
0
1
2
3
4
y
3
0
\(-1\)
0
3
Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней, задаются уравнением \(y = m.\) Определим, какое наибольшее количество общих точек может иметь прямая \(y = m\) с график исходной функции (см. рис. 2). Точки пересечения отмечены красным цветом.