Задача 21. Постройте график функции \(y = x\,\left| x \right| + 2\left| x \right|-3x.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
ОТВЕТ: \(-0,25;\,\,\,\,\,6,25.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot x + 2x-3x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\x \cdot \left( {-x} \right) + 2 \cdot \left( {-x} \right)-3x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}-5x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-5x\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-5}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -2,5.\) Для построения графика \(y = -{x^2}-5x\) при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -5,\) \(x = -4,\) \(x = -2,5,\) \(x = -1\) и \(x = 0:\) \(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-5 \cdot \left( {-5} \right) = -25 + 25 = 0;\) \(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-5 \cdot \left( {-4} \right) = -16 + 20 = 4;\) \(y\left( {-2,5} \right) = -{\left( {-2,5} \right)^2}-5 \cdot \left( {-2,5} \right) = -6,25 + 12,5 = 6,25;\) \(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-5 \cdot \left( {-1} \right) = -1 + 5 = 4;\) \(y\left( 0 \right) = -{0^2}-5 \cdot 0 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-x\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-1}}{{2 \cdot 1}} = 0,5.\) Для построения графика \(y = {x^2}-x\) при \(x \ge 0\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 0,5,\) \(x = 2\) и \(x = 3:\) \(y\left( 0 \right) = {0^2}-0 = 0;\) \(y\left( {0,5} \right) = {0,5^2}-0,5 = 0,25-0,5 = -0,25;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2}-2 = 4-2 = 2;\) \(y\left( 3 \right) = {3^2}-3 = 9-3 = 6.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно две общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = -0,25\), проходящая через вершину \(\left( {0,5;-0,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вверх; случай (2): прямая \(y = 6,25\), проходящая через вершину \(\left( {-2,5;6,25} \right)\) параболы, направленной ветвями вниз. Следовательно, при \(m = -0,25\) и \(m = 6,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ: \(-0,25;\,\,\,\,\,6,25.\)
x
\(-5\)
\(-4\)
\(-2,5\)
\(-1\)
0
y
0
4
6,25
4
0
x
0
0,5
2
3
y
0
\(-0,25\)
2
6
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.