Задача 3. Постройте график функции \(y = \left| {{x^2} + 2x-3} \right|.\)
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
ОТВЕТ: 4.
Для построения графика функции \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) необходимо построить график функции \(y = f\left( x \right)\), далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат не ниже оси абсцисс, а части, расположенные ниже, отобразить симметрично наверх относительно этой оси. Поэтому для построения графика заданной функции сначала разберёмся с графиком функции \(y = {x^2} + 2x-3\), а для этого найдём его точки пересечения с осью абсцисс: \({x^2} + 2x-3 = 0;\,\,\,\,\,\,D = {2^2}-4 \cdot 1 \cdot \left( {-3} \right) = 16;\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{-2-4}}{2} = -3,\\x = \dfrac{{-2 + 4}}{2} = 1.\end{array} \right.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 2x-3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{2}{{2 \cdot 1}} = -1.\) Для построения графика \(y = {x^2} + 2x-3\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -3,\) \(x = -1,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-4} \right)-3 = 16-8-3 = 5;\) \(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-3} \right)-3 = 9-6-3 = 0;\) \(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-1} \right)-3 = 1-2-3 = -4;\) \(y\left( 1 \right) = {1^2} + 2 \cdot 1-3 = 1 + 2-3 = 0;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2} + 2 \cdot 2-3 = 4 + 4-3 = 5.\) Для построения графика заданной функции построим сначала график функции \(y = {x^2} + 2x-3\), затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс, оставим без изменения, а участок от \(-3\) до 1 (изображённый пунктирной линией), находящийся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс. При этом вершина \(\left( {-1;-4} \right)\) отразится в точку \(\left( {-1;4} \right)\) (см. рис. 1). Если \(m < 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции не имеет общих точек. Если \(m = 0\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Если \(0 < m < 4\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 4 общие точки. Если \(m = 4\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 3 общие точки. Если \(m > 4\), то прямая \(y = m\) с графиком построенной функции имеет 2 общие точки. Следовательно, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4. Ответ: 4.
x
\(-4\)
\(-3\)
\(-1\)
1
2
y
5
0
\(-4\)
0
5
Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней, задаются уравнением \(y = m.\) Определим, какое наибольшее количество общих точек может иметь прямая \(y = m\) с график исходной функции (см. рис. 2). Точки пересечения отмечены красным цветом.