ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 32

ОТВЕТ: \(-4;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x-2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-2\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 2,\\-x + 2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-5x-5\left( {x-2} \right) + 6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 2,\\{x^2}-5x-5\left( {-x + 2} \right) + 6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-10x + 16\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 2,\\{x^2}-4\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-4\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot 1}} = 0.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-4\) при \(x < 2\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\)

\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2}-4 = 4-4 = 0;\)

\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2}-4 = 1-4 = -3;\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-4 = -4;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-4 = 1-4 = -3;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-4 = 4-4 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-10x + 16\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-10}}{{2 \cdot 1}} = 5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-10x + 16\) при \(x \ge 2\) возьмём значения \(x = 2,\) \(x = 3,\) \(x = 5,\) \(x = 7\) и \(x = 8:\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-10 \cdot 2 + 16 = 4-20 + 16 = 0;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-10 \cdot 3 + 16 = 9-30 + 16 = -5;\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-10 \cdot 5 + 16 = 25-50 + 16 = -9;\)

\(y\left( 7 \right) = {7^2}-10 \cdot 7 + 16 = 49-70 + 16 = -5;\)

\(y\left( 8 \right) = {8^2}-10 \cdot 8 + 16 = 64-80 + 16 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {2;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -4\), проходящая через вершину \(\left( {0;-4} \right)\) параболы, построенной при \(x < 2\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {2;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -4\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-4;\,\,\,\,\,0.\)