ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 33

ОТВЕТ: \(-4;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x-3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-3\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 3,\\-x + 3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-7x-5\left( {x-3} \right) + 12\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\{x^2}-7x-5\left( {-x + 3} \right) + 12\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-12x + 27\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\{x^2}-2x-3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-2x-3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-2}}{{2 \cdot 1}} = 1.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-2x-3\) при \(x < 3\) возьмём значения  \(x = -1,\)  \(x = 0,\)  \(x = 1,\)  \(x = 2\)  и  \(x = 3:\)

\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2}-2 \cdot \left( {-1} \right)-3 = 1 + 2-3 = 0;\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2}-2 \cdot 0-3 = -3;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^2}-2 \cdot 1-3 = 1-2-3 = -4;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-2 \cdot 2-3 = 4-4-3 = -3;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-2 \cdot 3-3 = 9-6-3 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-12x + 27\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-12}}{{2 \cdot 1}} = 6.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-12x + 27\) при \(x \ge 3\) возьмём значения  \(x = 3,\)  \(x = 4,\)  \(x = 6,\)  \(x = 8\)  и  \(x = 9:\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-12 \cdot 3 + 27 = 9-36 + 27 = 0;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^2}-12 \cdot 4 + 27 = 16-48 + 27 = -5;\)

\(y\left( 6 \right) = {6^2}-12 \cdot 6 + 27 = 36-72 + 27 = -9;\)

\(y\left( 8 \right) = {8^2}-12 \cdot 8 + 27 = 64-96 + 27 = -5;\)

\(y\left( 9 \right) = {9^2}-12 \cdot 9 + 27 = 81-108 + 27 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {3;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -4\), проходящая через вершину \(\left( {1;-4} \right)\) параболы, построенной при \(x < 3\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {3;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -4\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-4;\,\,\,\,\,0.\)