ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 34

ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 7} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 7\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -7,\\-x-7\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 13x-3\left( {x + 7} \right) + 42\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -7,\\{x^2} + 13x-3\left( {-x-7} \right) + 42\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 10x + 21\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -7,\\{x^2} + 16x + 63\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -7.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 16x + 63\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{16}}{{2 \cdot 1}} = -8.\)

Для построения графика \(y = {x^2} + 16x + 63\) при \(x < -7\) возьмём значения  \(x = -10,\)  \(x = -9,\)  \(x = -8\)  и  \(x = -7:\)

\(y\left( {-10} \right) = {\left( {-10} \right)^2} + 16 \cdot \left( {-10} \right) + 63 = 100-160 + 63 = 3;\)

\(y\left( {-9} \right) = {\left( {-9} \right)^2} + 16 \cdot \left( {-9} \right) + 63 = 81-144 + 63 = 0;\)

\(y\left( {-8} \right) = {\left( {-8} \right)^2} + 16 \cdot \left( {-8} \right) + 63 = 64-128 + 63 = -1;\)

\(y\left( {-7} \right) = {\left( {-7} \right)^2} + 16 \cdot \left( {-7} \right) + 63 = 49-112 + 63 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 10x + 21\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{10}}{{2 \cdot 1}} = -5.\)

Для построения графика \(y = {x^2} + 10x + 21\) при \(x \ge -7\) возьмём значения  \(x = -7,\)  \(x = -6,\)  \(x = -5,\)  \(x = -4\)  и  \(x = -3:\)

\(y\left( {-7} \right) = {\left( {-7} \right)^2} + 10 \cdot \left( {-7} \right) + 21 = 49-70 + 21 = 0;\)

\(y\left( {-6} \right) = {\left( {-6} \right)^2} + 10 \cdot \left( {-6} \right) + 21 = 36-60 + 21 = -3;\)

\(y\left( {-5} \right) = {\left( {-5} \right)^2} + 10 \cdot \left( {-5} \right) + 21 = 25-50 + 21 = -4;\)

\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 10 \cdot \left( {-4} \right) + 21 = 16-40 + 21 = -3;\)

\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 10 \cdot \left( {-3} \right) + 21 = 9-30 + 21 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-7;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через вершину \(\left( {-8;-1} \right)\) параболы, построенной при \(x < -7\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-7;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,0.\)