ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 35

ОТВЕТ: \(-2,25;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 2\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -2,\\-x-2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x-4\left( {x + 2} \right) + 2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -2,\\{x^2} + 3x-4\left( {-x-2} \right) + 2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-x-6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -2,\\{x^2} + 7x + 10\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 7x + 10\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{7}{{2 \cdot 1}} = -3,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2} + 7x + 10\) при \(x < -2\) возьмём значения  \(x = -5,\)  \(x = -4,\)  \(x = -3,5,\)  \(x = -3\)  и  \(x = -2:\)

\(y\left( {-5} \right) = {\left( {-5} \right)^2} + 7 \cdot \left( {-5} \right) + 10 = 25-35 + 10 = 0;\)

\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 7 \cdot \left( {-4} \right) + 10 = 16-28 + 10 = -2;\)

\(y\left( {-3,5} \right) = {\left( {-3,5} \right)^2} + 7 \cdot \left( {-3,5} \right) + 10 = 12,25-24,5 + 10 = -2,25;\)

\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 7 \cdot \left( {-3} \right) + 10 = 9-21 + 10 = -2;\)

\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 7 \cdot \left( {-2} \right) + 10 = 4-14 + 10 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-x-6\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-1}}{{2 \cdot 1}} = 0,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-x-6\) при \(x \ge -2\) возьмём значения  \(x = -2,\)  \(x = -1,\)  \(x = 0,5,\)  \(x = 2\)  и  \(x = 3:\)

\(y\left( {-2} \right) = {\left( {-2} \right)^2} + 2-6 = 4-4 = 0;\)

\(y\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^2} + 1-6 = 1-5 = -4;\)

\(y\left( {0,5} \right) = {0,5^2}-0,5-6 = 0,25-6,5 = -6,25;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2}-2-6 = 4-8 = -4;\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-3-6 = 9-9 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-2;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -2,25\), проходящая через вершину \(\left( {-3,5;-2,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < -2\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-2;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -2,25\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-2,25;\,\,\,\,\,0.\)