ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 37

ОТВЕТ: \(-0,25;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x-5} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-5\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 5,\\-x + 5\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-11x-2\left( {x-5} \right) + 30\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 5,\\{x^2}-11x-2\left( {-x + 5} \right) + 30\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-13x + 40\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 5,\\{x^2}-9x + 20\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-9x + 20\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-9}}{{2 \cdot 1}} = 4,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-9x + 20\) при \(x < 5\) возьмём значения  \(x = 3,\)  \(x = 4,\)  \(x = 4,5\)  и  \(x = 5:\)

\(y\left( 3 \right) = {3^2}-9 \cdot 3 + 20 = 9-27 + 20 = 2;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^2}-9 \cdot 4 + 20 = 16-36 + 20 = 0;\)

\(y\left( {4,5} \right) = {4,5^2}-9 \cdot 4,5 + 20 = 20,25-40,5 + 20 = -0,25;\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-9 \cdot 5 + 20 = 25-45 + 20 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-13x + 40\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-13}}{{2 \cdot 1}} = 6,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2}-13x + 40\) при \(x \ge 5\) возьмём значения  \(x = 5,\)  \(x = 6,\)  \(x = 6,5,\)  \(x = 7\)  и  \(x = 8:\)

\(y\left( 5 \right) = {5^2}-13 \cdot 5 + 40 = 25-65 + 40 = 0;\)

\(y\left( 6 \right) = {6^2}-13 \cdot 6 + 40 = 36-78 + 40 = -2;\)

\(y\left( {6,5} \right) = {6,5^2}-13 \cdot 6,5 + 40 = 42,25-84,5 + 40 = -2,25;\)

\(y\left( 7 \right) = {7^2}-13 \cdot 7 + 40 = 49-91 + 40 = -2;\)

\(y\left( 8 \right) = {8^2}-13 \cdot 8 + 40 = 64-104 + 40 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {5;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -0,25\), проходящая через вершину \(\left( {4,5;-0,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < 5\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {5;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -0,25\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-0,25;\,\,\,\,\,0.\)