Задача 39. Постройте график функции \(y = {x^2}-8x-4\,\left| {x-3} \right| + 15.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,0.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| {x-3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-3\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 3,\\-x + 3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-8x-4\left( {x-3} \right) + 15\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\{x^2}-8x-4\left( {-x + 3} \right) + 15\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}-12x + 27\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\{x^2}-4x + 3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-4x + 3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-4}}{{2 \cdot 1}} = 2.\) Для построения графика \(y = {x^2}-4x + 3\) при \(x < 3\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 3:\) \(y\left( 0 \right) = {0^2}-4 \cdot 0 + 3 = 3;\) \(y\left( 1 \right) = {1^2}-4 \cdot 1 + 3 = 1-4 + 3 = 0;\) \(y\left( 2 \right) = {2^2}-4 \cdot 2 + 3 = 4-8 + 3 = -1;\) \(y\left( 3 \right) = {3^2}-4 \cdot 3 + 3 = 9-12 + 3 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}-12x + 27\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-12}}{{2 \cdot 1}} = 6.\) Для построения графика \(y = {x^2}-12x + 27\) при \(x \ge 3\) возьмём значения \(x = 3,\) \(x = 4,\) \(x = 6,\) \(x = 8\) и \(x = 9:\) \(y\left( 3 \right) = {3^2}-12 \cdot 3 + 27 = 9-36 + 27 = 0;\) \(y\left( 4 \right) = {4^2}-12 \cdot 4 + 27 = 16-48 + 27 = -5;\) \(y\left( 6 \right) = {6^2}-12 \cdot 6 + 27 = 36-72 + 27 = -9;\) \(y\left( 8 \right) = {8^2}-12 \cdot 8 + 27 = 64-96 + 27 = -5;\) \(y\left( 9 \right) = {9^2}-12 \cdot 9 + 27 = 81-108 + 27 = 0.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через вершину \(\left( {2;-1} \right)\) параболы, построенной при \(x < 3\); случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {3;0} \right)\) двух парабол. Следовательно, при \(m = -1\) и \(\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки. Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,0.\)
x
0
1
2
3
y
3
0
\(-1\)
0
x
3
4
6
8
9
y
0
\(-5\)
\(-9\)
\(-5\)
0
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {3;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.