ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 40

ОТВЕТ: \(-0,25;\,\,\,\,\,0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 8} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 8\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -8,\\-x-8\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 14x-3\left( {x + 8} \right) + 48\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -8,\\{x^2} + 14x-3\left( {-x-8} \right) + 48\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 11x + 24\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -8,\\{x^2} + 17x + 72\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 17x + 72\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{17}}{{2 \cdot 1}} = -8,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2} + 17x + 72\) при \(x < -8\) возьмём значения  \(x = -10,\)  \(x = -9,\)  \(x = -8,5\)  и  \(x = -8:\)

\(y\left( {-10} \right) = {\left( {-10} \right)^2} + 17 \cdot \left( {-10} \right) + 72 = 100-170 + 72 = 2;\)

\(y\left( {-9} \right) = {\left( {-9} \right)^2} + 17 \cdot \left( {-9} \right) + 72 = 81-153 + 72 = 0;\)

\(y\left( {-8,5} \right) = {\left( {-8,5} \right)^2} + 17 \cdot \left( {-8,5} \right) + 72 = 72,25-144,5 + 72 = -0,25;\)

\(y\left( {-8} \right) = {\left( {-8} \right)^2} + 17 \cdot \left( {-8} \right) + 72 = 64-136 + 72 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2} + 11x + 24\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{11}}{{2 \cdot 1}} = -5,5.\)

Для построения графика \(y = {x^2} + 11x + 24\) при \(x \ge -8\) возьмём значения  \(x = -8,\)  \(x = -7,\)  \(x = -5,5,\)  \(x = -4\)  и  \(x = -3:\)

\(y\left( {-8} \right) = {\left( {-8} \right)^2} + 11 \cdot \left( {-8} \right) + 24 = 64-88 + 24 = 0;\)

\(y\left( {-7} \right) = {\left( {-7} \right)^2} + 11 \cdot \left( {-7} \right) + 24 = 49-77 + 24 = -4;\)

\(y\left( {-5,5} \right) = {\left( {-5,5} \right)^2} + 11 \cdot \left( {-5,5} \right) + 24 = 30,25-60,5 + 24 = -6,25;\)

\(y\left( {-4} \right) = {\left( {-4} \right)^2} + 11 \cdot \left( {-4} \right) + 24 = 16-44 + 24 = -4;\)

\(y\left( {-3} \right) = {\left( {-3} \right)^2} + 11 \cdot \left( {-3} \right) + 24 = 9-33 + 24 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-8;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -0,25\), проходящая через вершину \(\left( {-8,5;-0,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < -8\);

случай (2): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-8;0} \right)\) двух парабол.

Следовательно, при \(m = -0,25\) и \(m = 0\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(-0,25;\,\,\,\,\,0.\)