ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 44

ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,2,25.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 2\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -2,\\-x-2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 2} \right)-{x^2}-3x-2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -2,\\4\left( {-x-2} \right)-{x^2}-3x-2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2} + x + 6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -2,\\-{x^2}-7x-10\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -2.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-7x-10\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-7}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -3,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-7x-10\) при \(x < -2\) возьмём значения  \(x = -5,\)  \(x = -4,\)  \(x = -3,5,\)  \(x = -3\)  и  \(x = -2:\)

\(y\left( {-5} \right) = -{\left( {-5} \right)^2}-7 \cdot \left( {-5} \right)-10 = -25 + 35-10 = 0;\)

\(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-7 \cdot \left( {-4} \right)-10 = -16 + 28-10 = 2;\)

\(y\left( {-3,5} \right) = -{\left( {-3,5} \right)^2}-7 \cdot \left( {-3,5} \right)-10 = -12,25 + 24,5-10 = 2,25;\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-7 \cdot \left( {-3} \right)-10 = -9 + 21-10 = 2;\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-7 \cdot \left( {-2} \right)-10 = -4 + 14-10 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + x + 6\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{1}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2} + x + 6\) при \(x \ge -2\) возьмём значения  \(x = -2,\)  \(x = -1,\)  \(x = 0,5,\)  \(x = 2\)  и  \(x = 3:\)

\(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2}-2 + 6 = -4 + 4 = 0;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2}-1 + 6 = -1 + 5 = 4;\)

\(y\left( {0,5} \right) = -{0,5^2} + 0,5 + 6 = -0,25 + 6,5 = 6,25;\)

\(y\left( 2 \right) = -{2^2} + 2 + 6 = -4 + 8 = 4;\)

\(y\left( 3 \right) = -{3^2} + 3 + 6 = -9 + 9 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-2;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-2;0} \right)\) двух парабол;

случай (2): прямая \(y = 2,25\), проходящая через вершину \(\left( {-3,5;2,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < -2\).

Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 2,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(0;\,\,\,\,\,2,25.\)