Задача 45. Постройте график функции \(y = 2\,\left| {x-5} \right|-{x^2} + 11x-30.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,0,25.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| {x-5} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-5\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 5,\\-x + 5\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x-5} \right)-{x^2} + 11x-30\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 5,\\2\left( {-x + 5} \right)-{x^2} + 11x-30\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2} + 13x-40\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 5,\\-{x^2} + 9x-20\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 5.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 9x-20\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{9}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 4,5.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 9x-20\) при \(x < 5\) возьмём значения \(x = 3,\) \(x = 4,\) \(x = 4,5\) и \(x = 5:\) \(y\left( 3 \right) = -{3^2} + 9 \cdot 3-20 = -9 + 27-20 = -2;\) \(y\left( 4 \right) = -{4^2} + 9 \cdot 4-20 = -16 + 36-20 = 0;\) \(y\left( {4,5} \right) = -{4,5^2} + 9 \cdot 4,5-20 = -20,25 + 40,5-20 = 0,25;\) \(y\left( 5 \right) = -{5^2} + 9 \cdot 5-20 = -25 + 45-20 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 13x-40\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{13}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 6,5.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 13x-40\) при \(x \ge 5\) возьмём значения \(x = 5,\) \(x = 6,\) \(x = 6,5,\) \(x = 7\) и \(x = 8:\) \(y\left( 5 \right) = -{5^2} + 13 \cdot 5-40 = -25 + 65-40 = 0;\) \(y\left( 6 \right) = -{6^2} + 13 \cdot 6-40 = -36 + 78-40 = 2;\) \(y\left( {6,5} \right) = -{6,5^2} + 13 \cdot 6,5-40 = -42,25 + 84,5-40 = 2,25;\) \(y\left( 7 \right) = -{7^2} + 13 \cdot 7-40 = -49 + 91-40 = 2;\) \(y\left( 8 \right) = -{8^2} + 13 \cdot 8-40 = -64 + 104-40 = 0.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {5;0} \right)\) двух парабол; случай (2): прямая \(y = 0,25\), проходящая через вершину \(\left( {4,5;0,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < 5\). Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 0,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки. Ответ: \(0;\,\,\,\,\,0,25.\)
x
3
4
4,5
5
y
\(-2\)
0
0,25
0
x
5
6
6,5
7
8
y
0
2
2,25
2
0
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {5;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.