Задача 46. Постройте график функции \(y = 5\,\left| {x-2} \right|-{x^2} + 5x-6.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,4.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| {x-2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-2\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 2,\\-x + 2\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}5\left( {x-2} \right)-{x^2} + 5x-6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 2,\\5\left( {-x + 2} \right)-{x^2} + 5x-6\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2} + 10x-16\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 2,\\-{x^2} + 4\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 2.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 4\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 4\) при \(x < 2\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2} + 4 = -4 + 4 = 0;\) \(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2} + 4 = -1 + 4 = 3;\) \(y\left( 0 \right) = -{0^2} + 4 = 4;\) \(y\left( 1 \right) = -{1^2} + 4 = -1 + 4 = 3;\) \(y\left( 2 \right) = -{2^2} + 4 = -4 + 4 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 10x-16\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{10}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 5.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 10x-16\) при \(x \ge 2\) возьмём значения \(x = 2,\) \(x = 3,\) \(x = 5,\) \(x = 7\) и \(x = 8:\) \(y\left( 2 \right) = -{2^2} + 10 \cdot 2-16 = -4 + 20-16 = 0;\) \(y\left( 3 \right) = -{3^2} + 10 \cdot 3-16 = -9 + 30-16 = 5;\) \(y\left( 5 \right) = -{5^2} + 10 \cdot 5-16 = -25 + 50-16 = 9;\) \(y\left( 7 \right) = -{7^2} + 10 \cdot 7-16 = -49 + 70-16 = 5;\) \(y\left( 8 \right) = -{8^2} + 10 \cdot 8-16 = -64 + 80-16 = 0.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {2;0} \right)\) двух парабол; случай (2): прямая \(y = 4\), проходящая через вершину \(\left( {0;4} \right)\) параболы, построенной при \(x < 2\). Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 4\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки. Ответ: \(0;\,\,\,\,\,4.\)
x
\(-2\)
\(-1\)
0
1
2
y
0
3
4
3
0
x
2
3
5
7
8
y
0
5
9
5
0
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {2;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.