Задача 47. Постройте график функции \(y = 5\,\left| {x-3} \right|-{x^2} + 7x-12.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,4.\)
Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| {x-3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x-3\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge 3,\\-x + 3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\) Тогда заданная функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}5\left( {x-3} \right)-{x^2} + 7x-12\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\5\left( {-x + 3} \right)-{x^2} + 7x-12\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2} + 12x-27\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 3,\\-{x^2} + 2x + 3\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 3.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 2x + 3\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{2}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 1.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 2x + 3\) при \(x < 3\) возьмём значения \(x = -1,\) \(x = 0,\) \(x = 1,\) \(x = 2\) и \(x = 3:\) \(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2} + 2 \cdot \left( {-1} \right) + 3 = -1-2 + 3 = 0;\) \(y\left( 0 \right) = -{0^2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3;\) \(y\left( 1 \right) = -{1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4;\) \(y\left( 2 \right) = -{2^2} + 2 \cdot 2 + 3 = -4 + 4 + 3 = 3;\) \(y\left( 3 \right) = -{3^2} + 2 \cdot 3 + 3 = -9 + 6 + 3 = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2} + 12x-27\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{12}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 6.\) Для построения графика \(y = -{x^2} + 12x-27\) при \(x \ge 3\) возьмём значения \(x = 3,\) \(x = 4,\) \(x = 6,\) \(x = 8\) и \(x = 9:\) \(y\left( 3 \right) = -{3^2} + 12 \cdot 3-27 = -9 + 36-27 = 0;\) \(y\left( 4 \right) = -{4^2} + 12 \cdot 4-27 = -16 + 48-27 = 5;\) \(y\left( 6 \right) = -{6^2} + 12 \cdot 6-27 = -36 + 72-27 = 9;\) \(y\left( 8 \right) = -{8^2} + 12 \cdot 8-27 = -64 + 96-27 = 5;\) \(y\left( 9 \right) = -{9^2} + 12 \cdot 9-27 = -81 + 108-27 = 0.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {3;0} \right)\) двух парабол; случай (2): прямая \(y = 4\), проходящая через вершину \(\left( {1;4} \right)\) параболы, построенной при \(x < 3\). Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 4\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки. Ответ: \(0;\,\,\,\,\,4.\)
x
\(-1\)
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
x
3
4
6
8
9
y
0
5
9
5
0
Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {3;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.