ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 48

ОТВЕТ: \(0;\,\,\,\,\,0,25.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| {x + 8} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x + 8\,\,\,\,\,{\rm{при}}\,\,\,\,x \ge -8,\\-x-8\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8.\end{array} \right.\)

Тогда заданная функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 8} \right)-{x^2}-14x-48\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -8,\\3\left( {-x-8} \right)-{x^2}-14x-48\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}-{x^2}-11x-24\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge -8,\\-{x^2}-17x-72\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < -8.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-17x-72\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-17}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -8,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-17x-72\) при \(x < -8\) возьмём значения  \(x = -10,\)  \(x = -9,\)  \(x = -8,5\)  и  \(x = -8:\)

\(y\left( {-10} \right) = -{\left( {-10} \right)^2}-17 \cdot \left( {-10} \right)-72 = -100 + 170-72 = -2;\)

\(y\left( {-9} \right) = -{\left( {-9} \right)^2}-17 \cdot \left( {-9} \right)-72 = -81 + 153-72 = 0;\)

\(y\left( {-8,5} \right) = -{\left( {-8,5} \right)^2}-17 \cdot \left( {-8,5} \right)-72 = -72,25 + 144,5-72 = 0,25;\)

\(y\left( {-8} \right) = -{\left( {-8} \right)^2}-17 \cdot \left( {-8} \right)-72 = -64 + 136-72 = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}-11x-24\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{{-11}}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = -5,5.\)

Для построения графика \(y = -{x^2}-11x-24\) при \(x \ge -8\) возьмём значения \(x = -8,\)  \(x = -7,\)  \(x = -5,5,\)  \(x = -4\)  и  \(x = -3:\)

\(y\left( {-8} \right) = -{\left( {-8} \right)^2}-11 \cdot \left( {-8} \right)-24 = -64 + 88-24 = 0;\)

\(y\left( {-7} \right) = -{\left( {-7} \right)^2}-11 \cdot \left( {-7} \right)-24 = -49 + 77-24 = 4;\)

\(y\left( {-5,5} \right) = -{\left( {-5,5} \right)^2}-11 \cdot \left( {-5,5} \right)-24 = -30,25 + 60,5-24 = 6,25;\)

\(y\left( {-4} \right) = -{\left( {-4} \right)^2}-11 \cdot \left( {-4} \right)-24 = -16 + 44-24 = 4;\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2}-11 \cdot \left( {-3} \right)-24 = -9 + 33-24 = 0.\)

Построим график (см. рис. 1). Точка \(\left( {-8;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно три общие точки (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = 0\), проходящая через точку стыка \(\left( {-8;0} \right)\) двух парабол;

случай (2): прямая \(y = 0,25\), проходящая через вершину \(\left( {-8,5;0,25} \right)\) параболы, построенной при \(x < -8\).

Следовательно, при \(m = 0\) и \(m = 0,25\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: \(0;\,\,\,\,\,0,25.\)